Нагруженные уравнения и их связь с нелокальными операторами

 

Эта система  является заслуживающим внимание примером нагруженных систем в частных  производных дробного порядка.

Если Ω - содержащая начало координат область на плоскости комплексного переменного то уравнение

где

- оператор Коши-Римана, относится к классу нагруженных эллиптических систем с двумя неизвестными функциями

Система (32) в  определенном смысле является обобщением системы (33) с коэффициентами тождественно равными нулю.

Исследованию  задачи Римана-Гильберта для различных вариантов уравнения (29) посвящены работы [24], [25].

Следует отметить, что в основе математических моделей  нелокальных физико-биологических процессов фрактальной организации, как правило, лежат нагруженные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка [26], [27], в том числе и уравнения вида (31). К нагруженным дифференциальным уравнениям приводят краевые задачи со смещением для уравнений с частными производными [28]. Классификации нагруженных дифференциальных уравнений как скалярных, так и матричных, а также важнейшим примерам этих уравнений посвящена вторая глава книги [5] (см. также [4]). Здесь же уместно отметить работы И.С. Ломова [15], [29], где на основе развития метода спектрального разложения В.А. Ильина [30], [31] на случай нагруженных обыкновенных дифференциальных операторов, определяемых на множестве разрывных функций, доказана теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка.

 

4. Нагруженные уравнения как метод введения обобщенных решений уравнений математической физики.

В монографиях [4], [26], [27], [28], [32] содержатся различные  применения нагруженных уравнений  как метода исследования задач математической биологии, математической физики, теории математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью и физики фракталов, краевых задач со смещением и теории упругих оболочек.

Нагруженные уравнения  выступают как метод решения  локальных и нелокальных задач для уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений [28], [16].

В настоящее  время установлена существенная взаимосвязь краевых задач со смещением и нагруженных уравнений. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений эту связь можно увидеть на следующем примере: пусть v(x) - решение нагруженного уравнения

с коэффициентами тогда функция

на интервале 0 < x < 1 является решением задачи со смещением

 

для уравнения

         Нагруженные уравнения можно использовать и как метод введения обобщенных решений уравнений в частных производных [33], [28].

Рассмотрим  одномерное волновое уравнение

в области евклидовой плоскости R² точек            

В пространстве обобщенным решением уравнения (34) можно назвать любую функцию являющуюся решением нагруженного функционального уравнения

Уравнение (35) представляет собой специальную форму записи теоремы Даламбера о том, что  любое регулярное в выпуклой области Ω решение u(z) уравнения (34) представимо в виде

где - действительные непрерывные функции переменных          

Функцию и = и(х,у), обладающую тем свойством, что u(x,0) и u_y(x,0) принадлежат пространству L[0,r], можно принять за обобщенное решение уравнения

в области если оно удовлетворяет нагруженному уравнению

где - оператор дробного интегрирования порядка µ > 0 с началом в точке и с концом в точке 𝛈 > ξ:

В случае, когда и(х,0) и и_у(х,0) при 0 < х < r удовлетворяют условию Гельдера порядка соответственно, это определение совпадает с определением обобщенного решения задачи Коши: для уравнения (36) класса по терминологии К.И. Бабенко [34, с.148], [35, с.38].

          Положим, что Ω - ограниченная область плоскости комплексной переменной z=х+iу, граница которой состоит из конечного числа непересекающихся кусочно-гладких замкнутых линий. В области Ω рассмотрим уравнение

где

- оператор Коши-Римана, w(z) = u(z)+iv(z) - искомая, a f(z) – заданная функции комплексной переменной z = х + iу.

Обобщенное  решение уравнения (36) с правой частью можно ввести как решение нагруженного интегрального уравнения

которое в теории функций комплексного переменного  известно под названием формулы  Бореля-Помпею.

Уравнение (37) следует  из формулы Грина для оператора 

Любое решение и нагруженного уравнения, задаваемого формулой Грина [5, с. 145] для линейного дифференциального оператора легко интерпретируется как обобщенное решение соответствующего уравнения Сказанное прокомментируем на примере уравнения

 где

Ω - область из граница которой состоит из конечного числа непересекающихся замкнутых (п-1)-мерных гладких поверхностей; - непрерывные в замыкании функции.

      Пусть:

- оператор, сопряженный к оператору L; - направляющие косинусы внешней нормали к границе в точке                  - конормаль (относительно L) в точке ;                  а = (а¹, а², ...,а^п);

ди/дν* - производная по направлению конормали от функции и(х) в точке х; v = v(x) - произвольная функция из области определения D(L*) оператора L*, принадлежащей

Тогда обобщенное решение уравнения (38) определяется как функция            и = и(х), удовлетворяющая нагруженному уравнению

Если v и или же и и v обращены в нуль на то нагруженное уравнение (39) вырождается в интегральное уравнение Фредгольма первого рода

Хорошо известно, что уравнение (40) лежит в основе определения слабогорешения задачи Дирихле и/ = 0 для уравнения (38).

При наличии  специального (фундаментального) решения v = G(x, у) у оператора L, которое обращается в бесконечность определенного порядка при х = у, уравнение (39) можно записать в виде (6).

В случае, когда оператор а в качестве функции v мож;но взять, например, фундаментальное решение уравнения Фурье Lu =0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения.- 1976.- Т. 12, №1.-С. 103-108.
2. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. - 1978.-Т. 242, №5.-С. 1008-1011.
3. Nahushev A.M. A nonlocal problem and the Goursat problem for a loaded equation of hyperbolic type, and their application to the prediction of ground moisture // Dokl. Akad. Nauk SSSR. - 1978. - V. 242, № 5. - P. 1243-1247.
4. Доюеналиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. - Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995. - 270 с.
5. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
6. Калитвин А. С. Линейные операторы с частными интегралами. - Воронеж;: ЦЧКИ, 2000. - 252 с.
7. Забрейко П.П., Калитвин А.С, Фролова Е.В. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, № 4. -С. 538-546.
8. Назаров Н.Н. Об одном новом классе линейных интегральных уравнений // Труды Ин-та мат. и мех. АН УзССР. - 1948. - Вып. 4. - С. 77-106.
9. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Т. 4. - 804 с.
10. Каров Х.М. Об одном приложении теоремы Рисса-Шаудера к интегральным уравнениям типа Кне-зера // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 6. - С. 815-819.
11. Гюнтер Н.М. К теории интегралов Стильтьеса-Радона и интегральных уравнений // Доклады АН СССР. - 1938. - Т. 21. - С. 219-223.
12. Гюнтер Н.М. К общей теории интегральных уравнений // Доклады АН СССР. - 1939. - Т. 22. -С. 215-219.
13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 735 с.
14. Lungu N. On some Volterra integral inequalities // Fixed Point Theory. - 2007. - V. 8, № 1. - P. 39-45.
15. Ломов И. С Свойства базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале // Дифференц. Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rock. Moun. J. Math. - 1975. - V. 5, № 4. - P. 493-542.
16. Искендеров А.Д. О первой краевой задаче для нагруженной системы квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 10. - С. 1911-1913.
17. Искендеров А.Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. - 1971. - Т. 199, № 6. - С. 1237-1239.
18. Dzenaliev M.T., Ramazanov M.I. On the boundary value problem for the spectrally loaded heat conduction operator // Siberian Mathematical Journal. - 2006. - V 47, № 3. - P. 527-547.
19. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.
20. Кожанов А.И.. Комсанов А.И. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом специального типа // Неклассические уравнения математической физики: Труды семинара, посвященного 60-летию В.Н. Врагова. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева, 2005. С. 167-176.
23. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. - 1961. Т. 61. - 158 с.
24. Хо Хо Сун Задача Трико ми для нагруженной системы Эйлера-Дарбу-Пуассона. - Нальчик, 1989. -16 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.10.90 г., № 546-890.
25. Хо Хо Сун Задача Дирихле для одной системы нагруженных уравнений первого порядка. Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. Межвуз. сборник. - Нальчик: КБГУ, 1989. - С. 258-264.
26. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. - 174 с.
27. Иеху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. - М.: Наука, 2005. - 199 с.
28. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. - М.: Наука, 2006. -287 с.
29. Ломов И. С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения.- 1991.- Т. 27, №9. - С. 1550-1563.
30. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Доклады АН СССР. - 1983. -Т. 273, № 5. - С. 1048-1053.
31. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, № 12. - С. 2059-2071.
32. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. - М.: Наука, 2007.- 167 с.
33. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, № 1. - С. 92-102.
34. Пулькин СП. Избранные труды. Самара: Универс групп, 2007. - 264 с.
35. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая шк., 1977. - 157 с.