Нахождение целочисленных корней алгебраических уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Сентября 2013 в 04:15, задача

Описание работы

1. Давайте, поймем, что означает "...решение в натуральных числах..."? – Это означает, что
требуется из ОДНОГО уравнения найти такие x и
y
(ДВА неизвестных!), которые являются
натуральными числами (напоминаю, что 0 не является натуральным числом!).
Имеются задачи, в которых требуется найти целочисленное решение! Напоминаю, что
целыми числами являются: все натуральные числа; все натуральные числа, умноженные на
минус один; ноль.

Скачать архив (196.10 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Файлы: 1 файл

About_Important_Class_of_Solvable_Equations.pdf

— 209.83 Кб (Скачать файл)
Page 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Требуется найти решение следующего уравнения в натуральных числах:
 3
3
2
2
2
2
 10
.
x
y
x y
x y
x
y
        
 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Рауф, ниже даю некоторые полезные указания.
1. Давайте, поймем, что означает "...решение в натуральных числах..."? – Это означает, что
требуется из ОДНОГО уравнения найти такие x и
y
 (ДВА неизвестных!), которые являются
натуральными числами (напоминаю, что 0 не является натуральным числом!).
Имеются задачи, в которых требуется найти целочисленное решение! Напоминаю, что
целыми числами являются: все натуральные числа; все натуральные числа, умноженные на
минус один; ноль.
2. Подход к решению ВСЕХ задач такого типа, в которых требуется найти ВСЕ неизвестные,
(неизвестных может быть сколь угодно много) из одного уравнения или из системы,
состоящей из нескольких уравнений, в ЦЕЛЫХ или НАТУРАЛЬНЫХ числах, следующий:
 необходимо все неизвестные собрать/перенести в левой части уравнения, а известное
 (т.е. число) – в правую часть уравнения.
ВНИМАНИЕ! Может ошибочно показаться, что в уравнении отсутствует
известное, например, если
бы
вышезаданное
уравнение
имело вид
 3
3
2
2
2
2
 ,
x
y
x y x y
x
y
       
 то это не означает, что в этом уравнении все члены
являются неизвестными. Действительно, после переноса всех неизвестных в правую
часть, получим
3
3
2
2
2
2
 0,
x
y
x y x y
x
y
       

 т.е. "появилось" известное число,
которое есть 0.
 необходимо левую часть сведенного (т.е. полученного) уравнения КАК-НИБУДЬ
 представить в виде произведения, т.е. в виде
 1
2
3
 ...
,
 n
 f f f
f
    
 где n есть количество
множителей в этом произведении. Например, пусть
 2,
n
т.е. пусть каким-то образом
смогли левую часть сведенного уравнения представили в виде произведения двух (так
как предположили, что
2
n
) функций. Тогда имеем:
1
2
 ,
f f
a
  
 где a есть то же
самое известное число, которое фигурировало в правой части сведенного уравнения.
 необходимо число a (т.е. известное число в правой части уравнения) разложить на
 всевозможные произведения двух натуральных (или целых, если в задаче требуется
найти целочисленное решение) чисел. Почему произведение ДВУХ чисел? – потому,
что мы предположили, что
2;
n
если бы
3,
n
то пришлось бы разложить число a
на всевозможные произведения ТРЕХ натуральных или целых чисел. Например, в
нашем конкретном случае число a равно 10, и это число мы можем разложить на
множители ДВУХ НАТУРАЛЬНЫХ чисел следующими 4-я способами:
 10 1 10;
  
Page 2

10 10 1;
  
 10 2 5;
  
 10 5 2.
  
 Следовательно, мы имеем 4 разных уравнения, лишь одно из которых правильно:
 1
2
 1 10;
f f  
 1
2
 10 1;
f f  
 1
2
 2 5;
f f  
 1
2
 5 2.
f f  
Так как по условию задачи требовалось найти решение уравнения в натуральных числах, то
полученное первое уравнение эквивалентно системе
 1
2
 1,
10;
f
f




полученное второе уравнение эквивалентно системе
 1
2
 10,
1;
f
f




полученное третьее уравнение эквивалентно системе
 1
2
 2,
5;
f
f




полученное первое уравнение эквивалентно системе
 1
2
 5,
2.
f
f




Теперь, просто необходимо поочередно решить полученные системы уравнений,
ПОСТОЯННО помня, что переменные/неизвестные должны быть натуральными числами
(или целыми числами, если в исходной задаче требуется найти целочисленное решение).
Поочередно решив эти 4 системы, увидим, что лишь в одной из них мы не получили
противоречий, а все остальные 3 системы приводят нас к противоречию о натуральности
(или целостности) искомых неизвестных/переменных.
Я Руслану очень кратко объяснил вышеизложеное, и он самостоятельно решил эту задачу.
Попытайся решить.

Информация о работе Нахождение целочисленных корней алгебраических уравнений