Індикатор цілої функції та його властивості

і

у випадку, коли f(z) - ціла функція скінченного порядку. Позначимо через індикатор росту похідної

.  (2)

Доведемо наступні теореми.

Теорема. Якщо для деякого значення , функція відмінна від нуля, то має місце рівність

.  (3)

Доведення. а) Припустимо спочатку, що . Перш за все, переконаємось, що в цьому випадку не може бути меншим за нуль.

Дійсно, нехай . Задамо при умові, що . ПО знайденому знайдемо таке , щоб при всіх виконувалась нерівність

.  (4)

Із рівності

,  (5)

де інтеграл взятий вздовж променя , і нерівності (4) отримаємо:

при всіх z в напрямку , де М - деяке визначене додатне число. Але за умовою , значить,

при .

звідси слідує, що не може бути меншим нуля. Тепер рівність (5) запишемо у такому вигляді:

,

де фіксоване число вибрано за умови, що при всіх виконується нерівність (4). Помітивши, що

,

оскільки не є від'ємним, отримаємо:

,   (6)

де

.

Із (6) випливає, що

.  (7)

Нерівність (7) справедлива при довільному , отже,

.  (8)

Тепер доведемо, що . Нехай таке, що функція в околі залишається додатною.

Розглянемо похідну

,   (9)

де , С - коло малого радіуса q з центром в точці z.

Візьмемо довільне і по ньому виберемо число таке, щоб виконувалась нерівність

при будь-яких і з околу . Нехай . Число q виберемо так, щоб круг повністю лежав всередині кута, утвореного променями і , точка z така, що виконується нерівність

.

Тоді на колі С функція f(z) буде задовольняти нерівності

,

де - деяке додатне число не менше, ніж q. Тому

,  (10)

і, отже,

.

Значить, оскільки довільне, то

.  (11)

Із нерівностей (8) і (11) отримаємо:

.

б) Тепер будемо вважати .Розглянемо знову рівність (9).

Мислячи аналогічно тому, як у випадку , отримаємо для точок кола С

,

де

,

і

,

звідки

.  (12)

Тепер доведемо, що . Оскільки , то, як було відзначено вище,

при ,

тому f(z) можна записати так:

,   (13)

де інтеграл взятий по променю . Помічаючи ще, що за доведеним , виберемо таке, щоб . В рівності (13) число z візьмемо таке, щоб виконувалась нерівність

 

при всіх . Тоді

і

,  (14)

де

.

Із нерівності (14) і випливає, що

.

Таким чином, і у випадку виконується нерівність (3)

.

Теорема доведена.

 Таким чином, диференціювання цілої функції не змінює її індикатора росту, коли індикатор росту відмінний від нуля.

Відмітимо також, що якщо функція перетворюється в нуль в окремих точках, то в цих точках силу неперервності функції і рівність (3) також зберігається. Якщо ж у всіх точках деякого відрізка, то в загальному випадку рівність (3) не зберігається.

Має місце наступна

Теорема. Якщо на деякому замкнутому відрізку , то на тому ж відрізку .

Доведення. Нехай - довільна внутрішня точка із інтервалу , в якій і таке, що в околі функція . По знайдемо таке число , щоб функція на відрізку задовольняла нерівності (3)

при всіх . Розглянемо похідну

,

де С - коло малого радіуса q, яке повністю лежить всередині кута, утвореного променями і . Оцінюючи модуль похідної , отримаємо:

.   (15)

В силу неперервності функції співвідношення (15) не порушується для межових точок.

Теорема доведена.

Розглянемо для прикладу функцію . Для неї . Знайдемо її індикатор росту:

.

Можливі два випадки:

а) . Тоді

.

б) . Тоді , і, отже,

.

Отже,

Розглянемо тепер функцію . Як було показано вище, . Очевидно, що на відрізку , де .

Із цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Якщо функція (2) для якого-небудь , то і функція (1) також буде рівна нулю для цього значення .

Наслідок 2. Якщо для якого-небудь , а , то функція f(z) на промені буде обмежена по модулю при будь-якому z.

Примітка. Установлені вище теореми 1 і 2 залишаються справедливими і для узагальненого індикатора росту функції f(z) (3), який визначається рівністю

,

де - деякий уточнений порядок росту. Уточнений порядок , введений Валіроном [4], визначається умовами:

1)існує границя

і 2) . ([2], ст. 166-171)

 

Висновок

У даній роботі розглянуто означення і основні властивості індикатора росту, його зв'язок з іншими характеристиками цілої функції.

В ході виконання курсової роботи нами було розглянуто поняття індикатора. Отже, індикатором росту цілої функції f(z) називається однозначна, - періодична функція , яка визначається рівністю

.

_{У даній роботі досліджено основні властивості індикатора росту цілої функції, а саме:}

_{1) Тригонометрична опуклість. Ми встановили, що для функції h(θ) має місце нерівність:}

_{2) h(θ) є неперервною функцією.}

3) Якщо порядок цілої функції , то не може існувати двох значень і таких, що , причому і  .

4) Для функцій мінімального типу .

5) Для функцій скінченного типу виконується рівність .

У четвертому параграфі ми вивели індикатори росту основних елементарних цілих функцій. Отже, індикатори росту для функцій

1)

, де ,  2) sin z,   3) cos z,   4)

(n натуральне) такі

1)

, 2) і 3) ,  4) .

Нами було встановлено, що

Якщо для деякого значення , функція відмінна від нуля, то має місце рівність .

Якщо на деякому замкнутому відрізку , то на тому ж відрізку .

Отже, слід зазначити, що індикатор росту цілої функції є важливою характеристикою для порівняння цілих функцій і він займає важливе місце в теорії цілих функцій.

 

Список використаної літератури

1. А.И.Маркушевич. Теория аналитических функцій в 2-х томах, том 2, М: Наука, 1968 р. (ст. 256-263)
2. В.И.Беневоленский. О некоторых предельных свойствахцелых функций конечного порядка и их производных//Сборник статей «Исследования по соверменным проблемам теории функцій комплексного переменного». - ГИФМЛ. Москва, 1960
3. И.И.Привалов. Введение в теорію функций комплексного переменного. - Изд. 13-е - М.: Наука, Главная редакція фізико-математической литературы, 1984г. - 432ст.
4. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2 томах. -- М.: Наука, 1976. -- 720 с.