Необходимое и достаточное условие выпуклости дифференцируемой функции на выпуклом множестве

Геометрически это означает, что середина любой хорды графика функции f лежит либо над графиком, либо на нем. Если для любых и неравенство (1) является строгим неравенством, то функция f называется строго выпуклой. Примеры В. ф.: для для всех х. При обратном знаке неравенства (1) функцию f наз. вогнутой. Всякая измеримая В. ф. непрерывна. Существуют В. ф., не являющиеся непрерывными, но они очень нерегулярны: если функция f выпукла на интервале ( а, b).и ограничена сверху в некотором интервале, лежащем внутри ( а, b), то она непрерывна на ( а, b). Таким образом разрывная В. ф. неограничена на каждом внутреннем интервале и неизмерима.