Неопределенный интеграл

Пример 3. Требуется вычислить . Положим тогда

     .

Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая

Тогда

. Окончательно будем иметь

.

 

 

 

Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

;

здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.

Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь

 

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

(1).

(2). (k-целое положительное число

(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

(1)

(2)

(3)

=

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

(4)

Произведем преобразования:

 

Первый интеграл берется подстановкой :

Второй интеграл- обозначим его через Ik-запишем в виде

,

полагая

 

(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:

.

Преобразуем интеграл:

 

Интегрируя по частям ,будем иметь

.

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

=

= .

В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.

 

Интегрирование рациональных дробей

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.

1.Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т. е.

F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:

и тогда

2. Случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

Пример 1.

3. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.

Пример 2.Требуется вычислить интеграл

 

.Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

 

       

Следовательно,

        .

Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.

Приравнивая коэффициенты при , получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом ,

 

4. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа.

Пример 3. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Разлагаем дробь на простейшие:

откуда

Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.

Таким образом, получаем

Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.

Интегралы от иррациональных функций

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1.Рассмотрим интеграл , где R-рациональная функция своих аргументов ¹).

Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s.Сделаем подстановку .Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

      .

Решение. Общий знаменатель дробей 1/2,3/4, есть 4; поэтому делаем подстановку ; тогда

= .

2.Рассмотрим теперь интеграл вида

 

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где - общий знаменатель дробей m/n,…r/s.

Пример 2. Требуется вычислить интеграл

               .

Решение. Делаем подстановку тогда

=

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua

 

¹ Запись указывает, что над величинами, производятся только рациональные операции. Точно также следует понимать в дальнейшем записи вида и т.д. Так, например, запись R(sinx,cos x)указывает,что над sinx и cos x производятся рациональные операции.