Неопределенный интеграл

Вариант 10

1. Найти неопределенный интеграл

 

 

2. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением

Сделаем чертеж:

 

Длина дуги вычисляется  по формуле: .

 

3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Значит, интеграл сходится.

 

4. Найти направление, в котором функция  возрастает в точке М(1,2,-1) быстрее всего.

Для нахождения направления необходимо найти градиент, который и определяет направление, в котором функция в точке возрастает быстрее всего.

 

5. Найти экстремум функции  при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению .

Решим задачу, используя  метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.

z(x, у, λ)= .

 Составим и решим  систему уравнений:

 

Из первого уравнения находим , из второго уравнения . Подставляя их в третье уравнение, имеем:

,

отсюда  ,

При ,

При ,

 

Т.е. получили две критические точки А и В, удовлетворяющих начальным условиям. Эти точки являются подозрительными на экстремум.

 Найдём частные  производные второго порядка и второй дифференциал функции L:

, , ,

, т.е.  .

При   .Значит, в точке А(8,-2) минимума нет.

При   .Значит, в точке В(2,0) условный минимум.

 

 

6. Вычислить , где область D ограничена линиями

Сделаем чертеж области:

 

Значит, х изменяется от 0 до .

 

 

7. Вычислить , где область D ограничена поверхностями

Сделаем чертеж поверхности:

Первая и вторая поверхность – это сферы.

Перейдем к сферическим координатам: .

 

8. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии L от точки А до точки В: , где L– отрезок АВ( ).

Т.к. интеграл вдоль линии от точки А до точки В, то х изменяется от 1 до 0.

Найдем уравнение прямой АВ:

 

 

9. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию 

– линейное дифференциальное уравнение  I порядка. Используем  подстановку

,  где  

Так как     и получаем:

                     

                                                      (1)

Потребуем,  чтобы функция           удовлетворяла условию:    

Решим это уравнение: ;    ;       ;   ;      – одна из таких функций.

Так как   , то уравнение (1) примет вид     .

Далее,                                                                                   

   .

Решим уравнение, разделив переменные:  ; 

Тогда – общее решение.

Найдем частное решение:

Тогда – частное решение.

 

 

10.  Найти общее решение дифференциального уравнения 

Рассмотрим однородное уравнение:

 – решение однородного уравнения. Частное решение общего уравнения будем искать в виде

  .

Тогда общее решение  имеет вид:

.