Неопределенный интеграл

1. Неопределенный  интеграл

- определение  первообразной;

- определение  неопределенного интеграла;

- свойства неопределенного  интеграла;

- табличные интегралы;

- методы интегрирования: метод замены, интегрирование по  частям, интегрирование некоторых  рациональных дробей (метод неопределенных  коэффициентов).

 

Неопределенный интеграл

Опр. F(x) наз-ся первообразной для f(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выполняется F`(х)=f(х)

Пример: f(х) = х² ; F(х) = ;  F`(х) === х² = f(х); – первообразная для х².

F₁(х)= + С. F₁`(х)= + С)`= х²+C

Теорема

F₁(х) и F₂(х) некоторые первообразы для ф-ии f(х) на промежутке X, найдется такая постоянная С, что F₂(х)= F₁(х) +С

Опр. Неопределенным интегралом от ф-ии f(х) наз-ся совокупность всех первообразных для ф-ии f(х) на промежутке Х.

Обозначается . знак интеграла, f(х) – подынтегральная ф-ия, f(х)dx – подынтегральное выражение, dx- дифференциал независимой переменной . = F(x)+С , где F(x) – некоторая первообразная для ф-ии f, C- произвольная постоянная.

Св-ва неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Таблица основных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

 

Методы вычисления интегралов

Метод разложения

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5 неопр. интеграла  наз-ся методом разложения(4) 5) )

Пример:)²dx=

(sin+cos)²=sin^{2   +2sin cos+} cos ^{2   = 1+sinx}

=

Метод замены переменной(метод подстановки)

. =

Пример:

.  = = - = -ln|t|+C

Теорема

Если =F(x)+C , то

Пример:

dx=

dx=+C=+C

=*+C= -+C

 

Интегрирование по частям 
  ф-ла интегрирования по частям

1.                 u=
2.            dv=

 

1.ln x dx

2. dx

3. dx          u=      dv=dx

arctg x dx

arcctg x dx

 

Пример:

1.dx  = x-dx= x-+C

Интегрирование рациональных дробей

Pn(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n многочлен степени n

Qm(x)= b₀x^m+ b₁x^m-1+…+ b_m-1x+b_m многочлен степени m

 –рациональная дробь

n<m правильная дробь

n≥m неправильная дробь

 правильная рациональная дробь

 неправильная дробь

x²+7x+3

Т.о интеграл от неправильной дроби  сводится к сумме интегралов от целой  части(многочлена) и интеграла от правильной дроби

Теорема

= =+ … + ++…++…

Пример: 
=++++

 

Метод неопределенных коэффициентов

dx

 

D=25-24=1

X1=3 ; x2=2

 ==+

Сравниваем числители слева  и справа

4x+3= A(x-2)+B(x-3)

X=3; А=15

Х=2; В= - 11

А=15, В= -11

dx=)dx=15 - 11=15ln|x-3|-11|ln|x-2|+C