Неопределённый интеграл и его свойства

 

                                        ГБОУСПОРО

               «Сальский  медицинский техникум»

 

 

 

            

              Реферат

По дисциплине: Математика.

По теме: Неопределённый интеграл и его свойства.

 

 

 

 

 

 

                                                        Работу выполнила

                                                                Студентка 1 курса 1 группы

                                                               « Сестринское дело »  Сатаева С.Н.

                                                                  Работу проверила Сорокина С.И.

 

                                                 

 

                                      Сальск 2013г

                                  Неопределённый интеграл.

• 10.1. Первообразная функция.
• 10.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
• 10.3. Таблица неопределённых интегралов.
• 10.4. Простейшие правила интегрирования.
• 10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

  Неопределённый интеграл. Часть 2.

Неопределённый интеграл. Часть 3.

10.1. Первообразная функция.

Опр.10.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е.  .  
Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).  
Первообразная определена неоднозначно: для функции   первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10:  . Для того, чтобы описать все множество первообразных функцииf(x), рассмотрим

Свойства первообразной.

1. Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во:  ).
2. Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F₁(x) может быть представлена в виде F₁(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

 
Док-во. Так как функции F(x) и F₁(x) - первообразные для f(x), то  (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) 

3. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

10.2. Неопределённый интеграл  и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом  . 
Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то  , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведениеf(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .
2.  (или  ).

10.3. Таблица неопределённых  интегралов.

1	.	11	.
2	.	12	.
3	( ).	13	.
4	.	14	.
5	;  .	15	.
6	.	16
7	.	17	.
8	.	18	.
9	.	19	.
10	.	20	;  .

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то  ; если x < 0, то  . 
Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:  - интеграл Пуассона;  ,   - интегралы Френеля;  ,  ,   - интегральные синус, косинус, логарифм.

10.4. Простейшие правила  интегрирования.

1.  ( );
2. ;

Для доказательства правил 1,2 достаточно продифференцировать выражения, стоящие  справа от знака равенства и убедиться, что эти выражения являются первообразными для функций, стоящих слева. Например,  . Примеры применения правил 1,2: 
  .   
и т.д. Значительно расширяют круг функций, интегралы от которых напрямую сводятся к табличным, два приёма, которые являются частными случаями рассматриваемого дальше метода замены переменной в неопределённом интеграле: подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого и постоянного множителя:

3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если  , то  . (Док-во: если  , то  ). Пример:  .
4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если   , то  .  
   (Док-во: если  , то  ).

 Пример:    .  
Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если  , то  . Пример:    .

10.5. Замена переменной  в неопределённом интеграле 
(интегрирование подстановкой).

Пусть  . Тогда  . Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция. 
Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t:  . Это означает, что  . Заменим независимую переменную t на функцию t = t(x):  . Следовательно, функция F(t(x)) является первообразной для произведения  , или  .

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.  
1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и  , то замена переменной осуществляется подведением множителя   под знак дифференциала:  , и задача сводится к вычислению интеграла  . Например,   (задача сведена к вычислению  , где t = cos x)  (аналогично находится интеграл от  );   (задача сведена к вычислению  , где t = sin x)  . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:   (самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg⁴ x²) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x² и x² по своим аргументам)   

.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в   имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t:  ; в результате     (возвращаемся к исходной переменной)   . Другие примеры:  
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:   =    .  Рассмотрим   (интеграл №19 из табл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену:   (или  ,  ):  . Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие   и   через косинус двойного угла:  .  Поэтому     
. 
Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20 Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:  
17.  .

15. 

.

20. 

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: