Новые решения обобщенной задачи Бюффона

Оглавление:

 

Введение:

1. Биография Бюффона Жоржа Луи Леклерка.
2. Опыт Бюффона.
3. Результаты экспериментов.
4. Решение задачи Бюффона.
5. Новые решения обобщенной задачи Бюффона.

Заключение.

Литература.

Приложение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

История науки показывает, что все  ее отрасли по мере своего развития приходят к необходимости учитывать  случайные отклонения от закономерностей  и использовать их влияние на течение  изучаемых процессов. Случайность  в окружающем нас мире существует объективно, вследствие принципиальной невозможности учесть все причинные связи изучаемых явлений с бесчисленным множеством других явлений. При развитии науки границы между случайностью на одном этапе науки, может стать закономерностью на другом ее этапе и, наоборот, в явлениях, которые считались строго закономерными, вследствие совершенствования теории и техники эксперимента, повышения точности определения закономерностей обнаруживаются случайные отклонения от них и возникает необходимость учитывать эти случайные отклонения. Поэтому области применения вероятных и статистических методов в различных прикладных отраслях науки непрерывно расширяются, а наукой, изучающей закономерности в случайном, является теории вероятностей. Одной из иллюстраций объективности существования закономерностей в случайном является классическая задача Бюффона (задача об игле).

 

Цель доклада:

Проиллюстрировать простой и наглядной  способ решения классической и обобщенной  задачи Бюффона. Особенность предложенного подхода в том, что он обнаруживает одну из причин возникновения «ошибочных» решений обобщенной задачи Бюффона.

Как определить экспериментально численное  значение ? Наверное, проще всего взять нитку, измерить её с помощью длину какой-нибудь окружности известного диаметра и разделить результат на длину диаметра. Оказывается, приближенно найти можно и с помощью иголки и теории вероятностей. Такой способ придумал французский естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон. Впоследствии опыт Бюффона не раз повторялся для проверки некоторых выводов теории вероятностей (вернее, их применимости на практики). Не обошлось при этом и без одного курьёзного случая, о котором и пойдет у нас речь. Но сначала я расскажу в чем состоит опыт Бюффона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Биография Бюффона Жоржа Луи Леклерка.

 

Получил от своего отца, Бенжамена  Леклерка, советника парламента в  Дижоне, хорошее образование, объехал  с молодым герцогом Кингстоном Францию  и Италию, затем отправился в Англию, где перевёл «Метод флюксий» (лат. Method of Fluxions) Ньютона и «Статистику растений» Галя. Эти переводы и несколько самостоятельных статей математического содержания вызвали в 1733 году назначение его членом Академии наук; в 1739 году он был назначен интендантом Королевского ботанического сада в Париже, и с этого времени деятельность его была посвящена преимущественно естественным наукам.

Бюффон умер в Париже 16 апреля 1788 года, после того как Людовик XV возвёл его в графское достоинство, а  Людовик XVI, ещё при его жизни, почтил бюстом, установленным у входа в королевский кабинет естествознания с надписью: «Majestati naturae par ingenium».

 

С научной точки зрения сочинения  Бюффона имеют сегодня мало значения, между тем как они всё ещё  представляют собой образец ораторского, иногда высокопарного стиля. Его философские попытки объяснения явлений природы нашли резкого противника уже в Кондильяке и могли привлечь к себе только как поэтическое представление природы; такова, например, написанная в самом блестящем стиле теория Земли («эпохи природы»). Наблюдения над жизнью животных редко собраны им самим, но остроумно обработаны, хотя и не с физиологической точки зрения. Научное значение имеют ещё систематические работы Добантона, товарища Бюффона, который принимал серьёзное участие в «Естественной истории млекопитающих» Бюффона.

В противоположность К. Линнею, отстаивавшему  в своей классификации мысль  о постоянстве видов, Бюффон высказывал прогрессивные идеи об изменяемости видов под влиянием условий среды (климата, питания и т. д.). В области  геологии Бюффон систематизировал известный в то время фактический материал и разработал ряд теоретических вопросов о развитии земного шара и его поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Опыт Бюффона.

 

3. Результаты экспериментов.

 

В прошлом веке когда теория вероятностей зачастую рассматривалась как

полуэкспериментальная наука, такие  опыты имели большое значение и весьма тщательно становились  многими учеными. Ниже приводится таблица, взятая из курса теории вероятностей Б. В. Гнеденко.

В первой колонке даны фамилии ученых, бросавших иглу и год проведения опыта, во второй – относительная длина иглы, в третьей – число бросков, в четвертой – число пересечений, и в последней – оценка числа . Сравним число = 3.141592654, с полученными оценками ученых. Числа в первых двух строках отличаются от на 0.01-0.02. Число полученное Фоксом всего на 0.0003 больше - это удивительный результат, а вот число Лаццарини лишь на 0.0000002 отличается от истинного значения.

 

 

Фамилия ученого и год проведения опыта	Относительная длина иглы (l/a)	Число бросков (n)	Число пересечений (m)	Оценка ( )
Вольф 1850	0.8	5000	2532	3.1596
Смит 1855	0.6	3204	1218	3.1553
Фокс 1884	0.75	1120	489	3.1419
Лаццарини 1901	0.83	3408	1808	3.1415929

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Решение задачи Бюффона.

 

Остается объяснить, как вычисляется  вероятность пересечения иглы и  одной из параллельных прямых в опыте  Бюффона. Обозначим расстояние от центра иглы до ближайшей прямой через a (0 a h/2), а угол между иглой и прямой можно записать в виде a .

Какому возможному результату эксперимента отвечает точка на плоскости с координатами (a; ), лежащая внутри прямоугольника, ограниченного координатными осями и прямыми a=

Каждому возможному результату нашего эксперимента отвечает точка на плоскости  с координатами (a; ), лежащая внутри прямоугольника, ограниченного координатными осями и прямыми и (рис. 2). Точки прямоугольника, лежащие под кривой , соответствуют случаям пересечение иглы с прямой: точки, лежащие выше этой кривой – случаям, когда пересечения не имеет места. Теперь задачу можно сформулировать так: в прямоугольнике наугад выбирается точка; какова вероятность того, что эта точка окажется под синусоидой ?

Слово «наугад» заменяет здесь требование равноправности всех положений упавшей  иглы. Его строгий смысл можно  объяснить по-разному. Проще всего  сказать, что вероятность попадания  выбранной точки в любой квадрат  { ( c данной стороной не зависит от положения этого квадрата внутри прямоугольника (хотя, разумеется, зависит от длины d его стороны). Например, вероятности того, что точка окажется внутри квадратов K₁ и K₂ на рисунке 2, одинаковы. Отсюда нетрудно вывести, что вероятность попадания внутрь любой фигуры, лежащей в нашем прямоугольнике, пропорциональна её площади, и, следовательно, равна отношению этой площади к площади всего прямоугольника.

В частности, площадь криволинейной трапеции, ограниченной рассматриваемой равна

А так как площадь S прямоугольника равна , для искомой вероятности получаем значение

 

 

5. Новые решения обобщенной задачи Бюффона.

  Игла Бюффона с вертикальными и горизонтальными прямыми.

 

Предположим, что на плоскость, разграфленную  на единичные клетки вертикальными  и горизонтальными прямыми, наудачу  брошена игла длиной 2l (меньшей, чем 1). Каково среднее число прямых, пересекаемых иглою? (Мы считаем, что сторона клетки 2a равна 1, так как можно измерять длину иглы в единицах длины клеток).

Решение задачи об игле Бюффона с  вертикальными и горизонтальными  прямыми.

Средне число пересечений вертикальных прямых равно вероятности пересечения одной такой прямой. Из решения задачи об игле Бюффона (a= ) известно, что эта вероятность равна . Среднее число пересечений вертикальных прямых также равно , что можно заметить, поворачивая нашу решетку на . Среднее суммы равно сумме средних, и ответ равен .

Если игла единичной длины, то среднее  число пересечений равно 

До этого предполагалось, что  игла короче, чем расстояние между прямыми.

 

Заключение.

 

Знаменитая задача «об игле» представляет исключительный интерес. Идеи Бюффона стимулировали возникновение и развитие геометрической вероятности, создали теоретический фундамент метода Монте-Карло. Первое обобщение задачи «об игле» принадлежит самому Бюффону. К сожалению, Бюффон не нашел правильного решения обобщенной задачи. Это не удивительно. В математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Правильное решение удалось получить Лапласу. Представляет интерес анализ причин возникновения «ошибочных» решений. «Ошибочными» мы называем решения, не совпадающие точно с решение Лапласа. «Ошибки» являются результатом некоторой предвзятости авторов, которая нередко допускается в математическом (в особенности, стохастическом) моделировании. Понятно, что качество решения нетрудно установить по экспериментальном оценкам знаменитой константы

Обобщенная задача Бюффона  – весьма интересный объект для  компьютерных экспериментов.

 

Литература.

1. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию

вероятностей. М.: Наука, 1970, 168 .

2. Жуков А. В. Вездесущее число - М.: Едиториал УРСС – 2004, 216 с.
3. Лютикас В. С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.

М.: Просвещение, 1990.

      4.    Мостеллер  Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных  задач с решениями. М.: Наука, 1975, 112с.