Обратная матрица

АНОВПОЦС РФ

«Чебоксарский кооперативный институт (филиал)

Российского университета кооперации»

 

 

 

 

Кафедра математических

 и инструментальных 

методов экономики.

 

 

 

Реферат

 на тему:

Обратная матрица

 

 

Выполнила:

 

 

Проверил:

 

 

 

 

Чебоксары

2011

 

Содержание

Введение………………………………………..………………………………….3 
1. Свойства обратной матрицы ……………………………………..…………...4 
2. Способы нахождения обратной матрицы.…………………………….……...5

     2.1 Точные (прямые) методы………………………………………………….5

• Метод Гаусса—Жордана……………………………………………….5
• С помощью союзной матрицы…………………………………………5
• Использование LU/LUP-разложения……………………...…………..6

     2.2 Итерационные методы………………………………………………….…7

• Методы Шульца………………………………………………………...7
• Оценка погрешности………………………………………………...….7
• Выбор начального приближения……………………………………....7

3. Примеры……………………………………………………………………..….9 
Список используемой литературы……………………………………………...11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

     Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

     Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства обратной матрицы

• , где  обозначает определитель.
• для любых двух обратимых матриц A и B.
• где * ^T обозначает транспонированную матрицу.
• для любого коэффициента .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{- 1} существует, то x = A ^{− 1}b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способы нахождения обратной матрицы

     Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

2.1. Точные (прямые) методы

• Метод Гаусса—Жордана

     Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

     При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ_i (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

     Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n³).

• С помощью союзной матрицы

C ^{* T} — транспонированная союзная матрица;

     Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

     Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

• Использование LU/LUP-разложения

     Матричное уравнение AX = I_n для обратной матрицы X можно рассматривать как совокупность n систем вида Ax = b. Обозначим i-ый столбец матрицы X через X_i; тогда AX_i = e_i, ,поскольку i-м столбцом матрицы I_n является единичный вектор e_i. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

     Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA = LU. Пусть PA = B, B ^{− 1} = D. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U ^{− 1}L ^{− 1}. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD = L ^{− 1} и DL = U ^{− 1}. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D. получаем равенство A ^{− 1} = DP. В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

     Сложность алгоритма — O(n³).

2.2. Итерационные  методы

• Методы Шульца

• Оценка погрешности

• Выбор начального приближения

     Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры

     Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

Задание. Матричным способом решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) {x+2·y+3·z=04·x+(-y)+23·z=53·x+y+2·z=6

Решение:

     Находим обратную к (1234-123312). Вычисляем определитель

|1234-123312| = 1 · (-1) · 2 + 2 · 23 · 3 + 4 · 1 ·  3 - 3 · (-1) · 3 - 2 · 4 · 2 - 23 · 1 · 1 = (-2) + 138 + 12 - (-9) - 16 - 23 = 118

     Вычисляем миноры Mij и алгебраические дополнения Aij всех элементов таблицы.

|-12312| = -1 · 2 - 23 · 1 = -2 - 23 = -25

M11=-25, A11=-25,

|2312| = 2 · 2 - 3 · 1 = 4 - 3 = 1

M21=1, A21=-1,

|23-123| = 2 · 23 - 3 · (-1) = 46 - (-3) = 49

M31=49, A31=49,

|42332| = 4 · 2 - 23 · 3 = 8 - 69 = -61

M12=-61, A12=61,

|1332| = 1 · 2 - 3 · 3 = 2 - 9 = -7

M22=-7, A22=-7,

|13423| = 1 · 23 - 3 · 4 = 23 - 12 = 11

M32=11, A32=-11,

|4-131| = 4 · 1 - (-1) · 3 = 4 - (-3) = 7

M13=7, A13=7,

|1231| = 1 · 1 - 2 · 3 = 1 - 6 = -5

M23=-5, A23=5,

|124-1| = 1 · (-1) - 2 · 4 = -1 - 8 = -9

M33=-9, A33=-9,

обратная  матрица равна 1118(-25-14961-7-1175-9).

     Умножаем присоединенную матрицу  на столбец свободных коэффициентов  (-25-14961-7-1175-9) · (056) = (289-101-29)

     В ходе вычислений были выполнены следующие действия

Умножаем 1 строку на 1 столбец (-25) · 0 + (-1) · 5 + 49 · 6 = 289 
Умножаем 2 строку на 1 столбец 61 · 0 + (-7) · 5 + (-11) · 6 = -101 
Умножаем 3 строку на 1 столбец 7 · 0 + 5 · 5 + (-9) · 6 = -29

     Делим произведение на определитель основной матрицы системы и записываем ответ.

Ответ: (289118;-101118;-29118)

 

Список используемой литературы

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969

2. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999.

3. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)