Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение:  )
• арккосинус (обозначение:  )
• арктангенс (обозначение:  ) в иностранной литературе ( )
• арккотангенс (обозначение:  ) в иностранной литературе ( ) или ( )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей  ей тригонометрической функции добавлением  приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin⁻¹ для арксинуса и т. п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Основное соотношение

Функция arcsin

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго возрастающей.

•  при 
•  при 
•  (область определения),
•  (область значений).

 

Свойства функции  arcsin 

•  (функция является нечётной).
•  при  .
•  при 
•  при 

 

Получение функции arcsin

Дана функция   На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений —  . Так как для функции  на интервале   каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция  график которой симметричен графику функции   на отрезке   относительно прямой 

 

 

 

 

 

 

 

Функция arccos

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго убывающей.

•  при 
•  при 
•  (область определения),
•  (область значений).

 

Свойства функции  arccos

•  (функция центрально-симметрична относительно точки  .
•  при 
•  при 

 

Получение функции  arccos

Дана функция   На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения —   На этом отрезке   строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке   существует обратная функция   график которой симметричен графику   на отрезке   относительно прямой 

Функция arctg

 

Арктангенсом числа m называется такое значение угла  , для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго возрастающей.

•  при 
•  при 

 

 

Свойства функции  arctg

• , при x > 0.
• , при x > 0.

 

Получение функции  arctg

Дана функция   На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз —   На этом отрезке  строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале   существует обратная  , график которой симметричен графику   на отрезке   относительно прямой 

Функция arcctg

 

Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго убывающей.

•  при 
•  при 

 

 

 

Свойства функции  arcctg

•  (график функции центрально-симметричен относительно точки 
•  при любых 

Получение функции  arcctg

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз —  . На этом отрезке  строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале   существует обратная функция  , график которой симметричен графику   на отрезке   относительно прямой   График симметричен к арктангенсу