Онтрольная работа по «Линейная алгебра»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО Уральский государственный  экономический университет

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа по дисциплине «Линейная  алгебра»

Вариант-7

 

 

                                                                                                  

.                                                                                                           

                                                 

                                                                                                                                       

 

Дата сдачи:_______________ 

Оценка:__________________

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.1.

Вычислить  сумму матриц kA+mB, если

А=,   В=

K=-4, m=5

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

cij=kaij+mbij.

Вычислим элементы первой строки матрицы  суммы:

С11=-4_*2+5_*3=7

С12=-4_*(-1)+5_*7=39

С13=-4_*4+5_*(-2)=-26

С21=-4_*6+5_*9=21

С22=-4_*3+5_*1=-7

С23=-4_*0+5_*6=30

С31=-4_*(-7)+5_*(-4)=8

С32=-4_*5+5_*8=20

С33=-4_*9+5_*5=-11

Таким образом, матрица суммы примет вид:

 С=

 

Задание 1.2.

Вычислить обратную матрицу и сделать  проверку.

 

А=

Используем алгоритм нахождения обратной матрицы:

1.Матрица квадратная (число строк  равно числу столбцов), следовательно,  обратная к ней  матрица  существует.

2.Находим определитель  исходной  матрицы:

∆А=-3_*3_*3+1_*(-5)_*1+0_*(-4)_*3-1_*3_*3-(-4)_*1_*3-0_*(-5)_*(-3)=-29 ≠ 0

3. Находим матрицу, состоящую  из алгебраических дополнений  элементов исходной матрицы:

А11=(-1)²_* 3_*3-0_*(-5)=-9

А12=(-1)³_* -4_*3-1_*(-5)=7

А13=(-1)⁴_* -4_*0-1_*3=-3

А21=(-1)³_* 1_*3-0_*3=-3

А22=(-1)⁴_* -3_*3-1_*3=-12

А23=(-1)⁵_* -3_*0-1_*1=1

А31=(-1)⁴_* 1_*(-5)-3_*3=-14

А32=(-1)⁵_* -3_*(-5)-(-4)_*3=-27

А33=(-1)⁶_* -3_*3-(-4)_*1=-5

Таким образом, получаем матрицу:

 

4.Полученную матрицу транспонируем:

^т=

5. Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:

А^-1=- -=

 

6. Осуществляем проверку полученного результата. Для этого находим

произведение полученной матрицы на исходную:

А^-1_.*А=А_*А^-1=*=

 

₌

 

==

 

Таким образом, получили в результате единичную  матрицу. Следовательно,

обратная  матрица была найдена, верно.

 

Задание 1.3.

Решить систему линейных уравнений  методом Крамера, Гаусса.

 

Решение:

1)Решить систему методом Крамера.

 

Составляем матрицу системы:

 

Вычисляем определитель этой матрицы:

∆==0_*(-8)_*4+3_*2_*(-5)+7_*2_*9-9_*(-8)_*(-5)-3_*7_*4-0_*2_*2=-348≠0

Находим определители ∆1, ∆2, ∆3 , получающиеся из исходного определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом  свободных членов:

 

∆1==2_*(-8)_*4+3_*2_*(-3)+9_*5_*2-9_*(-8)_*(-3)-3_*5_*4-2_*2_*2=-276

∆2==0_*5_*4+2_*2_*(-5)+9_*7_*(-3)-9_*5_*(-5)-2_*7_*2-0_*2_*(-3)=- 40

∆3==0_*(-8)_*(-3)+3_*5_*(-5)+2_*7_*2-2_*(-8)_*(-5)-3_*7_*(-3)-0_*5_*2=- 64

Теперь используя формулы Крамера х1=, х2=, х3=_, находим решение системы:

Х1==,=0,79 х2==,=0,11 х3===0,18

2) Решим систему методом Гаусса.

Составляем расширенную матрицу  системы, в которую входят

коэффициенты при переменных и  свободные члены:

 

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-юу строку на (7). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (26). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Из 1-ой строки выражаем x₃

 

Х₃==0,18

Из 2-ой строки выражаем x₂

-26х₂=- +4=0,11

Из 3-ой строки выражаем x₁

-5х₁=-2_*0,11- – 3=0,79

Задание 1.4.

Вычислить определитель 4-го порядка

А=

Решение:

Запишем разложение определителя по четвертой строке:

∆А==0_*А₄₁ +3_*А₄₂+0_*А₄₃+1_*А₄₄

где Aij - алгебраическое дополнение элемента ij a .

Найдем алгебраические дополнения по формуле А_ij=(-1)^i+j, где m_ij-

минор элемента ij a , который получается из исходного определителя

вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный

элемент.

А₄₂=(-1)⁴⁺²_*m₄₂=(-1)⁶_{* =4*}7_*(-9)+7_*(-7)_*0+1_*(-1)_*0 – 0_*7_*0 – 7_*1_*(-9) – 4_* (-7)_*(-1)=-217

А₄₄=(-1)⁴⁺⁴_*m₄₄=(-1)⁸_{* =4*}(-3)_*(-1)+0_*7_*0+1_* 1_*7-7_*(-3)_*0-0_*1_*(-1)-4_*7_*1=-9

Подставляем полученные значения в разложение определителя:

=3_*А₄₂+А₄₄=3_*(-217)+(-9)=-660

 

Задание 1.5.

Самостоятельно, по аналогии с примером, составить  задачу с экономическим

содержанием, построить математическую модель экономического процесса, и решить поставленную задачу.

 

Задача.

 

Затраты трех видов сырья А, B, C на производство единицы каждого из трех типов продукции I, II, III и запасы каждого вида сырья заданы в таблице (Таблица 1):

 

 

 

Таблица 1

Продукция   Вид сырья	I	II	III	Запасы сырья
A	2	3	1	245
B	1	2	4	130
C	3	4	2	270

 

Требуется определить план производства, обеспечивающий использование всего  сырья.

Запишем систему  линейных уравнений, используя данные, приведенные в

таблице:

где - объемы выпускаемой продукции каждого вида.

 

Решение:

Для решения воспользуемся методом  Гаусса. Запишем расширенную

матрицу системы:

Запишем систему  в виде расширенной матрицы:

Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

 

Умножим 1-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

 

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 290/(-4)

x₂ = [320 - (10x₃)]/2

x₁ = [70 - (4x₂ + 2x₃)]/3

Из 1-ой строки выражаем x₃

 

Из 2-ой строки выражаем x₂

 

Из 3-ой строки выражаем x₁