Операции алгебры матриц

1 Постановка задачи

Требуется разработать программу, реализующую основные операции алгебры  матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, а также умножение  матрицы на число.

Пример 1. Над матрицами  А и В выполнить основные операции:

.

Сумма матриц:

.

Разность матриц:

.

Транспонирование матрицы A и B:

.

Умножение матрицы A на число 3:

.

Умножение матриц :

Пример 2. Над матрицами  А и В выполнить основные операции:

.

Сумма матриц:

Невозможно вычислить  сумму матриц, так как число  строк матрицы A не равно числу  строк матрицы B.

Разность матриц:

Невозможно вычислить  разность матриц, так как число  строк матрицы A не равно числу  строк матрицы B..

Транспонирование матрицы A и B:

Так как матрица A не квадратная невозможно выполнить ее транспонирование.

.

Умножение матрицы A на число 5:

.

Умножение матриц :

.

 

2 Математические и алгоритмические  основы решения задачи

2.1 Сумма матриц

Суммой двух матриц А и  В одинаковых размеров называется матрица  того же размера, элементы которой равны  сумме соответствующих элементов  матриц А и В. Таким образом, если

 (1)

 (2)

.

Операция нахождения суммы  матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного  числа матриц одинаковы размеров.

2.2 Разность матриц

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

 

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что  операция сложения матриц удовлетворяет  следующим свойствам:

А + В = В + А; (коммутативность)

А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)

А + О = А.

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О –  нулевая матрица того же размера.

2.3 Умножение матрицы на  число λ

Произведением матрицы А = [аij] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим λА. Таким образом от умножения матрицы (1) на число, получим:

, то 

Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы  на число удовлетворяет следующим  свойствам:

1) А = А;

2) (λ + μ)А = λА + μΑ;

3) λ(А + В) = λΑ+ λВ;

4) λ( μА) = (λμ)А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ - произвольные числа; О – нулевая матрица.

2.4 Умножение матриц

Произведение АВ матрицы  А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк  матрицы В. Пусть матрицы А  и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк  матрицы В:

В этом случае произведением  матрицы А на матрицу В, которые  заданы в определенном порядке (А  – 1ая, В – 2ая), является матрица  С, элемент которой сij определяется по следующему правилу:

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = ∑ n α = 1 aiαbαj,

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента сij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы  А, а число столбцов – числу  столбцов матрицы В.

Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА.

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет  следующим свойствам:

1) А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность);

2) λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);

3) А(В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность).

Здесь А, В, С – матрицы  соответствующих определению умножения  матриц размеров; λ - произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк  во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы  А и В – квадратные одного и  того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке  следования сомножителей.

2.5 Транспонирование матрицы

Транспонированием матрицы  называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы  меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается АТ.

.

Для квадратной матрицы это  преобразование эквивалентно симметричному  отображению относительно главной  диагонали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

http://www.on-lan.ru/referaty_po_kibernetike/kursovaya_rabota_lisp-realizaciya.php