Определение закона распределения вероятностей

Министерство образования  и науки РФ

ГОУ ВПО Восточно-Сибирский  Государственный Технологический   

Университет

Кафедра СМУК

 

 

Расчетно-пояснительная  записка к курсовой работе по дисциплине Общая теория измерений на тему

Анализ и обработка  статистических данных

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка II курса

группы  2169  Гаськова А.С.

 Проверил: Хамханова Д.Н.

 

 

 

Улан-Удэ, 2012

Содержание

 

Введение

1. Определение закона распределения вероятностей
2. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому распределению
3. Определение доверительного интервала

Заключение

Список использованных источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В России до перехода к рыночной экономике обеспечение единства измерений осуществлялось и регулировалось государством централизовано с помощью метрологических государственных и ведомственных центров.

В новых экономических  условиях было принято решения о  переходе системы измерений в  России на законодательный принцип  управления. В 1993 г. были приняты Законы Российской Федерации “О стандартизации”, “О сертификации продукции и услуг”, “Об обеспечении единства измерений”.В этих Законах регламентированы организационные принципы метрологического обеспечения и государственного надзора за стандартами и средствами измерений, обязанности Госстандарта, осуществляющего государственное управление деятельностью по обеспечению единства измерений в стране с помощью его должностных лиц – государственных инспекторов.

Общие правила и нормы  обеспечения единства измерений  устанавливают государственные стандарты ГСИ, а также межотраслевые документы метрологического характера: руководящие документы (РД), методические указания Госстандарта (МУ), методики метрологических институтов Госстандарта (МИ), правила по метрологии (ПР), инструкции.

 

 

 

 

 

 

1. Определение закона распределения вероятностей результатов измерения

Определение закона распределения  вероятностей результата измерений  базируется на применении аналитических (основанных на определении оценок различных показателей формы распределения: асимметрии, эксцесса, контрэксцесса, энтропийного коэффициента и т.д.) и графических (построение на основе массива экспериментальных данных графиков интегральных и дифференциальных функций распределения) методов определения закона распределения вероятностей (ЗРВ).

Основная цель использования методов  математической статистики - изучение свойств неизмеримо большой группы объектов на основании анализа свойств  относительно небольшой их совокупности.

При этом все существующее в природе  множество интересующих нас объектов называется генеральной совокупностью, а относительно небольшое их множество, отобранное нами для изучения - выборочной совокупностью, или выборкой.

В данной работе мы будем  определять закон распределения  вероятности представленной выборки  Х, представляющей собой следующий  массив данных:

Х (155 147 155 152 140 164 147 156 136 138 148 146 140 140 145 149 140 145 146 156 153 149 139 139 159 148 160 149 162 137 164 151 146 148 151 152 135 141 137 163 155 153 147 150 145 142 158 149 151 162 144 150 138 146 152 152 147 156 148 142 134 149 150 148 162 142 141 142 162 152 147 161 148 153 173 156 151 139 143 139 146 152 150 152 140 153 157 152 163 152 157 154 150 151 146 154 136 153 145 149 157 147 143 149 156 144 157 145 145 173 157 154 166 154 160 153 150 139 146 152 141 152 142 145 151 130 151 146 151 158 152 139 161 144 141 143 148 153 130 149 154 142 141 159 150 157 162 149 137 148 152 151 152 153 158 146 154 129 159 146 143 152 147 157 134 157 151 134 144 143 155 146 164 149 150 141 162 140 162 133 148 153 163 144 138 154 154 152 156 156 159 146 154 153 159 155 137 161 157 136 161 147 149 144 151 153 155 146 159 155 158 150 149 153 147 154 158 157 146 165 129 152 150 150 152 167 158 141 147 164 136)

Общая методика содержит следующие  этапы:

1. Ранжирование значений выборки Х в порядке возрастания и представления в виде вариационного ряда :

С помощью функции «Сортировка» Ms Excel упорядочиваем значения выборки Х по возрастанию для дальнейшего удобства.

2. Определение среднего арифметического значений выборки:

Среднее арифметическое выборки - это один из наиболее употребительных статистических показателей. Среднее арифметическое характеризует положение центра выборки на числовой прямой и является мерой математического ожидания переменной. Находим его по следующей формуле:

                                                    (1)

Среднее арифметическое или выборочную среднюю распределения можно рассматривать как случайную величину.

В Microsoft Excel среднее арифметическое находим по формуле СРЗНАЧ(A2:A232), где А2:А232 диапазон значений выборки Х. Qср = 149,76.

3. Определение несмещенной оценки дисперсии:

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений Х от их выборочной средней:

                                              (2)

Она характеризует рассеяние  наблюдаемых значений выборки вокруг среднего значения. Это рассеяние  может быть значительным, тогда есть риск, что найденная по данным выборки  статистическая оценка, т.е. функция от наблюдаемых случайных величин, будет сильно удалена от среднего значения, и мы допустим систематическую ошибку. Эта возможность будет исключена при малой дисперсии.

В нашем случае, дисперсия  равна 65,51, следовательно рассеянность от среднего значения не слишком велика.

4. Определение среднего квадратического отклонения результата измерения:

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Находится по формуле:

                                                    (3)

и равно 8,09. Среднеквадратическое отклонение используют при расчете стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднее квадратичное отклонение определяет, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется. В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределенности. 

Большое значение среднеквадратического  отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения во множестве сгруппированы вокруг среднего значений.

Островершинность зависит  от величины среднего квадратического  отклонения: чем меньше его значение, тем ближе к средней располагается основная масса значений признака (или чем больше вероятность появления значений признака, близких к средней значению) в совокупности, следовательно, тем острее вершина кривой.

После того, как проделаем  все вышеперечисленное, заполняем  таблицу:

Qi	Qi-Qcp	(Qi-Qcp)2	(Qi-Qcp)3	(Qi-Qcp)4
129	-20,76	430,88	-8943,96	185654,95
129	-20,76	430,88	-8943,96	185654,95
130	-19,76	390,36	-7712,60	152382,33
130	-19,76	390,36	-7712,60	152382,33
133	-16,76	280,82	-4705,80	78857,82
134	-15,76	248,30	-3912,62	61653,48
134	-15,76	248,30	-3912,62	61653,48
134	-15,76	248,30	-3912,62	61653,48
135	-14,76	217,79	-3213,99	47430,76
136	-13,76	189,27	-2603,91	35823,47
136	-13,76	189,27	-2603,91	35823,47
136	-13,76	189,27	-2603,91	35823,47
136	-13,76	189,27	-2603,91	35823,47
137	-12,76	162,76	-2076,37	26489,43
137	-12,76	162,76	-2076,37	26489,43
137	-12,76	162,76	-2076,37	26489,43
137	-12,76	162,76	-2076,37	26489,43
138	-11,76	138,24	-1625,37	19110,46
138	-11,76	138,24	-1625,37	19110,46
138	-11,76	138,24	-1625,37	19110,46
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
139	-10,76	115,73	-1244,93	13392,38
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
140	-9,76	95,21	-929,02	9065,00
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
141	-8,76	76,70	-671,66	5882,14
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
142	-7,76	60,18	-466,85	3621,63
143	-6,76	45,66	-308,58	2085,28
143	-6,76	45,66	-308,58	2085,28
143	-6,76	45,66	-308,58	2085,28
143	-6,76	45,66	-308,58	2085,28
143	-6,76	45,66	-308,58	2085,28
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
144	-5,76	33,15	-190,86	1098,90
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
145	-4,76	22,63	-107,69	512,32
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
146	-3,76	14,12	-53,05	199,36
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
147	-2,76	7,60	-20,97	57,82
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
148	-1,76	3,09	-5,43	9,54
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
149	-0,76	0,57	-0,43	0,33
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
150	0,24	0,06	0,01	0,00
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
151	1,24	1,54	1,92	2,38
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
152	2,24	5,03	11,28	25,29
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
153	3,24	10,51	34,09	110,53
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
154	4,24	18,00	76,36	323,93
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
155	5,24	27,48	144,08	755,32
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
156	6,24	38,97	243,25	1518,49
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
157	7,24	52,45	379,88	2751,29
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
158	8,24	67,94	559,97	4615,51
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
159	9,24	85,42	789,51	7296,99
160	10,24	104,91	1074,50	11005,53
160	10,24	104,91	1074,50	11005,53
161	11,24	126,39	1420,95	15974,96
161	11,24	126,39	1420,95	15974,96
161	11,24	126,39	1420,95	15974,96
161	11,24	126,39	1420,95	15974,96
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
162	12,24	149,88	1834,86	22463,10
163	13,24	175,36	2322,22	30751,76
163	13,24	175,36	2322,22	30751,76
163	13,24	175,36	2322,22	30751,76
164	14,24	202,85	2889,03	41146,76
164	14,24	202,85	2889,03	41146,76
164	14,24	202,85	2889,03	41146,76
164	14,24	202,85	2889,03	41146,76
165	15,24	232,33	3541,30	53977,92
166	16,24	263,82	4285,02	69599,06
167	17,24	297,30	5126,19	88388,00
173	23,24	540,21	12555,80	291827,15
173	23,24	540,21	12555,80	291827,15
Сумма
34594	0,00	15066,42	-8295,31	2931186,59

Таблица 1. Выборка

5. Определение четвертого центрального момента:

 Четвертый центральный момент контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. 

Центральный момент четвертого порядка при данной дисперсии может служить характеристикой удельного веса больших отклонений от математического ожидания, а это в свою очередь используется для оценки плосковершинности и островершинности кривой распределения с помощью коэффициента эксцесса.

В результате расчетов вычислили, что . Столь большое число означает, что кривая распределения достаточно плосковершинная.

6. Определение контрэксцесса:

Определяется по формуле:

                                                             (4)

В данной курсовой работе контрэксцесс = 0,000000407.

7. Исключение из выборки промахов:

В соответствии с правилом трех сигм, которое гласит: если случайная  величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического  ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, исключаем промахи, т.е. из данного массива исключаем все значения Х, отличные от среднего более чем на 3σ=24,27.

В результате исключения промахов не оказалось, следовательно, делаем вывод  о нормальности закона распределения.

8. Определение оценки центра распределения:

 В зависимости от  типа распределения в качестве оценки центра распределения выбирают одну из следующих оценок:

Мода – это варианта, которая имеет наибольшую частоту (точка максимума дифференциальной функции). Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. Если же все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что у данной группы моды нет. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и эти частоты больше любых других частот в группе, то модой считают среднее от этих двух значений. Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этой группе есть две моды, такая группа называется бимодальной. Бимодальной называется группа и в том случае, если эти две черты не совсем равны. В таких случаях различают большую и малую моду и всей группе, наряду с одной большой модой может несколько меньших мод.