Определители второго порядка и их свойства

Определители  второго порядка и их свойства

 

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

коэффициенты  в формулах постоянные,

неизвестные входят в формулы только в первой степени,

отсутствуют произведения между самими неизвестными,

 

то тогда  такие зависимости называют линейными.

 

Пример. В  лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

 

Решение. Для  ответа на вопрос воспользуемся простым  уравнением:

10x+15=280,

 

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения  будет 26,5 г.

 

Пример. В  лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

 

Решение. Для  ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,

10x+10y=280;

5x+2y=128,

 

решая которые  совместно, получаем x=24 г; y=4 г.

 

В обоих  рассмотренных примерах мы имели  дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением, а во втором – с линейной системой уравнений.

 

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему  уравнений:

                                                                 (1.1)

где a11, a12, a21, a22, b1, b2, - некоторые числа, x, y - неизвестные. Составим из коэффициентов системы (1.1) прямоугольную таблицу вида

                                                                                  (1.2)

Определение 1. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел aij

 

Определение 2. Элементы aij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

 

Определение 3. Определителем второго  порядка или детерминантом, соответствующим  матрице (1.2) назовем число D такое, что

                                                                      (1.3) 
Определитель обозначается буквами D или и записывается

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа (по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить "определитель, соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель. Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение, во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель, соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

 

Пример. Дана система уравнений

Составить матрицу системы и  вычислить определитель.

 

 

Решение. Из коэффициентов системы составим матрицу:

и соответствующий ей детерминант

Выполним вычисления по формуле (2), получим

Определение 4. Количество строк (или  столбцов) в определителе называется порядком определителя

 

В примере был вычислен определитель второго порядка.

 

Определители обладают следующими свойствами.

 

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами  и наоборот.

 

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

Заменим строки столбцами и снова  вычислим получившийся определитель

Сравнивая D с D* можно убедиться, что D = D*.

 

 

Определение 5. Операция замены строк  столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

 

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

 

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

Поменяем в нем местами столбцы  и вычислим получившийся определитель.

Сравнивая результаты, убеждаемся, что  определитель, действительно, поменял  свой знак. Поменяем теперь местами  строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому  далее все свойства приводятся без  доказательств. Читатель может в  качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

 

Свойство 4. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также  умножится (разделится) на это число.

Свойство 5. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить  как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости шестого свойства.

 

Это свойство широко используется для  практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

 

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо число.

Определитель - очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей.

 

Определители третьего порядка и их свойства

 

На практике редко задачи решаются при помощи таких простых систем, как рассмотренные  в первом параграфе. Чаще для поиска решения получаются системы, состоящие из большего количества уравнений. Да и неизвестных в таких системах тоже больше, чем два. Пусть теперь дана система из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных

                                                       (1.4)

Определение 6. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице  системы (1.4), назовем число D, равное

Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две  вычислительные схемы, позволяющие  вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как " правило треугольника " (или "правило звездочки") и " правило Саррюса ".

 

По правилу треугольника сначала  перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями

т.е. получаем сумму произведений: a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32.

 

 

Обратите внимание, что перемножаются  элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.

 

Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме

т.е. получаем другую сумму произведений a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32. И, наконец, чтобы вычислить определитель, из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:

 

D=(a11a22a33+a12a23a31+a21a13a32)-(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32).

 

По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном  направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в  другом направлении (см. схему):

 

Можно убедиться, что результат  будет таким же, что и при  вычислении определителя по правилу  треугольника.

 

Пример. Вычислить определитель

Решение. Вычислим определитель по правилу  звездочки

и по правилу Саррюса

т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.

 

 

Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей  третьего порядка, в чем можно  убедиться самостоятельно. На основании  этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.

 

Свойство 1. Величина определителя не изменяется при замене строк столбцами.

 

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) между собой, величина определителя меняет знак.

 

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

 

Свойство 4. Если все элементы некоторой  строки (столбца) содержат одинаковый множитель, то этот множитель можно  вынести за знак определителя.

 

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) есть сумма равного числа слагаемых, то определитель будет равен сумме определителей, в которых элементы указанной строки (столбца) записываются отдельными слагаемыми.

 

Свойство 6. Если все элементы некоторой  строки (столбца) равны нулю, то весь определитель тоже равен нулю.

 

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой  строки (столбца) добавить соответствующие  элементы другой строки(столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

 

Миноры и  алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель третьего порядка

                                                              (1.5)

Вычеркнем из определителя одну строку и один столбец, например, первую строку и второй столбец. Из оставшиеся элементов  составим определитель второго порядка

номер которого (индекс у D ) определяется номерами вычеркнутых строки (первой) и столбца (второй). Если из определителя (1.5) вычеркнуть другие строку и столбец, например, третий и третий, соответственно, то оставшиеся элементы будут также составлять определитель второго порядка, номер которого теперь будет другой –

Определение 7. Определитель, который  получается вычеркиванием одной  строки и одного столбца из исходного  определителя называется минором основного  определителя.

 

Очевидно, что определитель третьего порядка имеет 9 различных миноров  второго порядка, т.е. каждый элемент  определителя имеет минор. Если взять  определитель, например, пятого порядка, то количество миноров у такого определителя будет 25 – по количеству элементов (5 в строке и 5 столбцов). И эти миноры будут представлены определителями четвертого порядка.

 

Определение 8. Назовем алгебраическим дополнением любого элемента определителя D минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если сумма номеров  элемента четная и минус в противном случае

                                                                          (1.6)

Пример. Выписать и вычислить все  алгебраические дополнения определителя

Решение. У определителя третьего порядка имеется 9 алгебраических дополнений (по каждому из элементов).

                     

                   

         

           

Теорема 1. Определитель D равен сумме  произведений элементов любого столбца  или строки на их алгебраические дополнения

                                          (1.7)

Очевидно, что для определителя третьего порядка можно записать шесть различных равенств (по трем столбцам и по трем строчкам).

 

Теорема 2. Суммы, произведений элементов  для любого столбца (строки) на алгебраические дополнения другого столбца (строки) определителя, равна нулю.

 

Доказательство. Проведем доказательство на примере определителя (5). Возьмем  сумму произведений алгебраических дополнений первой строки на элементы третьей строки. Получим

Разложение определителя по строке или столбцу дает нам правило вычисления любых определителей высоких порядков (четвертого и выше).

 

Определение 9. Определителем n -го порядка  называется число  равное алгебраической сумме                   (1.8)

где Aij=(-1)i+jDij есть алгебраические дополнения элемента aij, а Dij - есть соответствующие миноры, т.е. определители ( n-1 )-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n -го столбца, на пересечение которых находится элемент aij.

 

 

Рассмотренные приемы позволяют вычислять определители любых порядков, а, следовательно, находить решение линейных систем любых порядков.

 

Пример. Вычислить  определитель

Решение. Для  вычисления определителя пятого порядка  воспользуемся формулой (1.8) и разложим данный определитель по первой строке (в этой строке все члены, кроме первого равны нулю). Получим

т.е. определитель стал теперь четвертого порядка. Опять  разложим определитель по первой строке, так как все члены этой строки равны нулю, кроме одного. Затем  вычислим полученный определитель третьего порядка по любой вычислительной схеме.