Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Января 2013 в 14:56, контрольная работа
Ранние исследования уравнений аль-Хорезми (с 800 г.) посвящены только положительным вещественным корням и не имеют отношения к ОТА(основой теоремы алгебры). Кардано был первым, кто понял, что можно работать с величинами, более общими, чем вещественные числа. Это открытие было сделано в ходе изучения формулы корней кубического уравнения. Эта формула в применении к уравнению x3=15x+4 дает ответ, в котором содержится , хотя Кардано уже знал, что является корнем этого уравнения. Он мог применять свои “комплексные числа’’, чтобы получить правильный ответ, но он еще никак не мог объяснить такой своей математики.
ВВЕДЕНИЕ 2
1. Основные определения 6
2. Элементы теории пределов для комплексных чисел 8
3. Доказательство основной теоремы 9
Заключение.............................................................................................15
Список литературы...............................................................................16
Здесь = есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для = найдется такое ,что | |< , как только | |< . Положим = ( ) и . Тогда .
Выберем так, что . Для этого нужно взять . Далее, положим , т.е. возьмем . При таком выборе будет . Теперь положим
при и . Тогда и
| |= .
Лемма доказана.
Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять при так что при k>1 (т.е. в случае, когда -корень кратности полинома )имеется k направлений спуска по поверхности . Они разделяются направлениями подъема при
Действительно, в этих направлениях
и
Так что если есть корень производной кратности , то поверхность в окрестности точки "гофрирована" так, что на ней имеется "долин" cпуска, раздельных "хребтами" подъема.
Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле , комплексных чисел алгебраически замкнуто).
Доказательство: Пусть - данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, и - точка, в которой ; Она существует по лемме 5. Тогда ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка что невозможно.
Основная теорема алгебры
носит фундаментальный
После полного доказательства Гаусса в 1799 году ученые-математики привели еще ряд доказательств ОТА.
В 1814 г. швейцарский бухгалтер Жан Робер Арган опубликовал доказательства ОТА, которое, возможно, является самым простым из всех доказательств. Оно основано на идее Даламбера 1746 г. В своей работе он интерпретировал i как поворот плоскости на , давая тем самым начало плоскости Аргана или диаграммы Аргана как геометрическому представлению комплексных чисел. Позднее в работе Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse Арган упрощает идею Даламбера использовать общую теорему о существовании минимума непрерывной функции.
В 1820 г. Коши посвятил целую главу из Cours d’analyse доказательству Аргана. Это доказательство не было строгим, поскольку общее понятие нижней границы не было разработано в то время.
Через два года после доказательства Аргана, в 1816 г., Гаусс опубликовал второе доказательство ОТА. Гаусс использует подход Эйлера, но вместо работы с корнями, которые не могут существовать, Гаусс работает с неизвестными. Это доказательство является полным и правильным.
Третье доказательство Гаусса (также 1816 г.) носит, как и первое, топологический характер.
1. Д.К.Фадеев Лекции по алгебре. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
2. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа. – М.: Изд-во "Высш. Школа", 1981г. – 687с.
3. А.Г.Курош Курс высшей алгебры. – М.: Изд-во "Наука", 1971 г. – 431с.
4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. В.А.Колемаева. – М.: ИНФРА-М, 1999.
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 1999.
6. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997
7. Ашманов С.А.
Математические модели в