Основные характерные черты математического моделирования

 В задаче математического моделирования «кроме объекта моделирования и модели, обязательно присутствует субъект моделирования, лицо, усилиями и в интересах которого осуществляется модель». Роль субъекта моделирования оказывается решающей, ибо именно его цели, интересы и предпочтения формируют модель.

 Создание модели  нужно не само по себе, а  для решения практических задач,  что только и может оправдать  затрату сил на создание модели. Модель создается для того, чтобы работать: «Только полная реализация модели с ее "прогоном" через расчеты полностью окупает затраты на моделирование».

Например, проведение экспериментальных исследований на крупных высокотемпературных  агрегатах связано с большими организационными и техническими трудностями. Поэтому возникает необходимость в разработке математических моделей, значительно сокращающих объём трудоёмких и дорогостоящих промышленных экспериментов, на долю которых остаётся лишь сбор исходной информации для расчёта, проверка адекватности математических моделей и внедрение результатов моделирования. Для формулировки граничных условий необходим детальный расчёт внешнего теплообмена. Одним из наиболее распространённых методов расчёта внешнего теплообмена является зональный метод, рассматривающий перенос тепла излучением, конвекцией и турбулентной теплопроводностью, т.е. учитывающий неравномерность распределения температур, скоростей и концентраций в рабочем пространстве топки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Основы математического моделирования.

         Приведем пример простейшей математической модели. Представим себе, что нужно определить площадь пола комнаты. Реальный объект – пол комнаты – заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отражением. Однако в результате замены реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия "модель", широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.

Классификация в любой  области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный  опыт, упорядочить понятия предметной области.

Существует несколько  подходов к классификации моделей.

Основные:

• область использования;
• учёт в модели временного фактора (динамики);
• отрасль знаний;
• способ представления моделей.

Классификация по области  использования:

Классификация с учётом фактора времени и области  использования:

 

 

Классификация по способу  представления:

 

 

4. Требования, предъявляемые к математическим моделям.

 

К математическим моделям  предъявляются следующие основные требования:

1. Универсальности.
2. Точности.
3. Адекватности.
4. Экономичности.

Универсальность математической модели характеризует полноту отражения  в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального  объекта.

Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность математической модели – это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера.

К математическим моделям  предъявляется и целый ряд  других требований, среди которых  следует выделить следующие:

Вычислимость, т.е. возможность  ручного или с помощью ЭВМ  исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным  составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.

Наглядность, т.е. удобное  визуальное восприятие модели.

 

Задачи математического  моделирования

 

Существует два основных класса задач, связанных с математическими  моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра k - прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1 Составление математических моделей.

 

Модель - это такой  материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Математическая модель - модель, в которой для описания свойств и типичных черт объекта  используются математические символы.

Покупая в магазине разные продукты, мы автоматически занимаемся простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, мы (или кассир) складываем абстрактные числа, оплачиваем сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке), получаем конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического моделирования мы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Мы перекладывали практическую задачу на математический язык, решали математическую задачу, а затем интерпретировали математический результат.

Процесс математического  моделирования - это процесс построения математической модели. Он состоит из следующих этапов:

1.Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнений, неравенств, системы уравнений и неравенств и т. д.

2.Решение математической задачи: уравнения, неравенства, системы и т. д.

3.Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

4.Проверка результата практикой.

Первые три этапа  мы все применяли при решении  текстовых алгебраических задач. И  если мы не допустили ошибок, что  проверяется непосредственно проверкой  или по данным в учебнике ответам, то считается, что задача решена верно. При решении практических задач такого ответа не существует. Можно представить, что решается сложная задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая задача. В таких случаях необходима проверка математических выводов экспериментом.

Чтобы проверить теоретические  выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет - и сначала  проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. Затем проводят испытания  в настоящем полете. Во время испытания  выявляются недостатки, уточняются условия задачи, уточняются и проверяются все три этапа ее решения. Затем снова эксперимент, и так до получения хорошего для практики результата.

Таким образом, вырисовывается следующая схема математического  моделирования:

Реальный Мир	1 этап – абстракция	Математическая модель
4 этап эксперимент		2 этап решение математи- ческой проблемы
Выводы о реальном мире	3 этап – интерпретация	Математические выводы

 

Рассмотрим пример.

Задача. Два художника  купили по одинаковому количеству краски. Первый из них половину всей краски купил по a рублей за тюбик, а другую половину – по b рублей за тюбик. Второй половину всех денег за покупку истратил на тюбики по a рублей, а другую половину денег – на тюбики по b рублей. Кто из них заплатил за покупку меньше?

Решение.

I. Введем обозначения:

S - число тюбиков, купленных  каждым художником;

х рублей – сумма, затраченная  на покупку первым художником;

y рублей - сумма, затраченная  на покупку вторым художником.

По условию задачи имеем:

S/2 Ÿ a + S/2 Ÿ b = x, (1)

y/ 2a + y/ 2b =S, (2)

Итак, нужно выяснить, какое из чисел, x или y, меньше другого, если положительные числа a, b, x, y, S удовлетворяют равенствам (1), (2). Эта математическая задача и есть математическая модель данной практической задачи.

Некоторые задачи, решаемые методом моделирования.

Задача о рекламе.

        Средства массовой информации дают рекламные объявления для ускорения сбыта некоторой продукции, которая есть в продаже. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. По какому закону распространяется известие о наличии этой продукции?

Решение.

Пусть N – число потенциальных покупателей данной продукции и в момент времени t об ее наличии в продаже знают х (t) покупателей. Хотя на самом деле число покупателей целое, но для абстрактной математической модели можно считать, что функция х (t) может принимать все значения от 0 до N.

Статистика показывает, что с большой степенью достоверности  скорость изменения функции х (t) прямо пропорциональна как числу знающих о продукции, так и числу не знающих. Если условится, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N /g человек, то приходим к дифференциальному уравнению

x '(t) = k·x(t)·( N – x(t)) (3)

с начальными условиями  х = N / g при t = 0. В уравнении (3) коэффициент k – это положительный коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы и скорости распространения слухов.

Интегрируя уравнение (1), находим, что

1 / N· ln (x /(N – x)) = k·t + С.

Полагая NC = C1, приходим к равенству

x / (N – x) = AеN·k· t , где А = еC1 .

Если последнее уравнение  разрешить относительно х, то получим  соотношение

х (t) = N· A·е N·k··t / (A·еN·k·t + 1) = N / (1 + Р·е –N·k·t ), (4)

где Р = 1/ A.

Если учесть теперь начальные  условия, то уравнение (4) перепишется  в виде

х (t) = N / (1 + (g -1)·e–N·k·t )

Задача (химия и технология производства).

 Через сосуд ёмкостью  а литров, наполненный водным  раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой воды и вытекает такое же количество раствора.