Основные элементарные функции, их свойства и графики

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем  примеры графиков степенных функций   при  , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции  с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

• Область определения:  . 
   при  , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при  .
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и   имеем функцию   - это прямая из которой исключена точка (0;1)(выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

 

 

 

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График  показательной функции  , где   и   принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание  показательной функции принимает  значение от нуля до единицы, то есть,  .

Для примера  приведем графики показательной  функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала  .

Свойства показательной функции  с основанием меньшим единицы.

• Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел:  .
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть,  .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных  функций   – синяя линия и  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции  с основанием большим единицы.

• Область определения показательной функции:  .
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при  .
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция  , где  ,  . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при  .

График  логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем  со случая, когда  .

Для примера  приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции  с основанием меньшим единицы.

• Область определения логарифмической функции:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем  к случаю, когда основание логарифмической  функции больше единицы ( ).

Покажем графики логарифмических функций   – синяя линия,   – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

• Область определения:  . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при  .
• Функция выпуклая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и  котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим  функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода  , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь  разберемся со всеми тригонометрическими  функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при  .
• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:  .
• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.
• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть  .
• Функция синус - нечетная, так как  .
• Функция убывает при  , 
   
  возрастает при  .
• Функция синус имеет локальные максимумы в точках  , 
  локальные минимумы в точках  .
• Функция y = sinx вогнутая при  , 
  выпуклая при  .
• Координаты точек перегиба  .
• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График  функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

• Область определения функции косинус:  .
• Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи:  .
• Функция обращается в ноль при  , где  , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно:  .
• Функция косинус - четная, так как  .
• Функция убывает при  , 
  возрастает при  .
• Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках  , 
  локальные минимумы в точках  .
• Функция вогнутая при  , 
  выпуклая при  .
• Координаты точек перегиба  .
• Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График  функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

• Область определения функции <span class="dash041e_0431_044b_04