Основные понятия: свойства, упорядочивание последовательности

Сложив равенства

U₁²=U₁U₂,

U₂²=U₂U3-U₁U₂,

U₃²=U₃U₄-U₂U₃,

…………………

U_n²=U_nU_n+1-U_n-1U_n,

почленно мы получаем формулу (30).

5. Многие соотношения  между числами Фибоначчи удобно  доказывать при помощи метода  полной индукции. Сущность метода  полной индукции состоит в  следующем: для доказательства, что  некоторое утверждение справедливо  для всякого натурального числа, достаточно установить, что:

а) оно имеет место  для числа 1;

б) из справедливости доказываемого  утверждения, для какого-либо произвольно  – выбранного натурального числа  № следует его справедливость для числа n+1.

6. Простейшей реализацией идеи индукции в применении к числам Фибоначчи является само определение чисел Фибоначчи. Оно состоит в указании двух первых чисел Фибоначчи: U₁=1 и U₂=1 и в индуктивном переходе от U_n и U_n+1 к U_n+2, даваемым рекуррентным соотношением: U_n+U_n+1=U_n+2. В частности, отсюда следует, что если некоторая последовательность чисел начинается с двух единиц, а каждое из следующих получается сложением двух предыдущих, то эта последовательность является последовательностью чисел Фибоначчи.

7. Докажем по индукции следующую важную формулу:

                                             U_n+m=U_n-1U_m+U_nU_m+1.                                                                       (31)

Доказательство этой формулы будем вести индукцией  по m.

При m=1 эта формула  принимает вид:

U_n+1=U_n-1U₁+U_nU₂, что очевидно.

При m=2 формула (31) также  верна, потому что

U_n+2=U_n-1U₂+U_nU₃=U_n-1+2U_n=U_n-1+U_n +U_n=U_n+1+U_n.

Основание индукции, таким  образом, доказано.

8.Полагая в формуле  (31) m = n, мы получаем

U_2n=U_n-1U_n+U_nU_n+1,

или

                                            U_2n=U_n(U_n-1+U_n+1)                                             (32)

Из написанного равенства  видно, что U_2n делится на U_n.

Так как U_n=U_n+1-U_n-1, формулу (32) можно переписать так:

U_2n⁼(U_n+1-U_n-1) ⁼(U_n+1+U_n-1), или

U_2n= U²_n+1-U ²_n-1, т. е. разность квадратов двух чисел Фибоначчи, номера которых отличаются на два, есть снова число Фибоначчи (и причем с четным номером).

Аналогично (полагая m=2n) можно показать, что

U_3n=U³_n+1+U³_n-U³_n-1.

9.В дальнейшем нам  пригодиться следующая формула:

                                                 U²_n = U_n-1U_n+1+(-1)ⁿ⁺¹                                                  (33)

Докажем ее индукцией  по n.

Для n=2, формула (33) принимает  вид:

U²₂₌U₁U_3-1,

10. Аналогичным способом  можно установить такие свойства чисел Фибоначчи:

U₁U₂+U₂U₃+U₃U₄+…+U_2n-1U_2n=U²_2n.

U₁U₂+U₂U₃+U₃U₄+…+U_2nU_2n+1=U²_2n+1-1.

nU₁+(n-1)U₂+(n-2)U₃+…+2U_n-1+U_n=U_n+4-(n+3)

U₁+2U₂+3U₃+…+nU_m=nU_n+2-U_n+3+2

11. До сих пор мы  определяли числа Фибоначчи рекуррентно,  т. е. индуктивно, по их номеру. Оказывается, что любое число Фибоначчи можно определить и непосредственно, как некоторую функцию его номера.

 

2.3. Золотое сечение

Что такое золотое сечение, и какая существует связь между ним и числами Фибоначчи?

Число (1 +)/2 ≈ 1.61803 играет важную роль во многих разделах математики, равно как и в мире искусств, где с античных времен оно рассматривалось как эстетически самое благоприятное отношение. Поэтому оно имеет специальное название – отношение золотого сечения и обозначается греческой буквой Ф в честь Фидия, который, как утверждается, сознательно использовал его в своих скульптурах. Связь этого числа с числами Фибоначчи устанавливается посредством Формулы Бине:

F(z) = ( – ) / .

Однако есть и другой – геометрический – подход к определению золотого сечения. Через золотое сечение числа Фибоначчи проявляют свои свойства в самых различных сферах. Многие наблюдаемые закономерности в этой области до сих пор не объяснены наукой. Но знать о них должен каждый исследователь.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция. В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:

1) на две равные части АВ: АC = АВ: ВC;

2) на две неравные  части в любом отношении (такие  части пропорции не образуют);

3) таким образом, когда АВ: АC = АC: ВC.

Последнее и есть золотое  сечение или деление отрезка  в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Если c принять за единицу, то отрезки золотой пропорции выражаются бесконечными иррациональными дробями b = 0,618…, a = 0,382… Как мы уже знаем, числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с таким  отношением сторон стали называть золотым  прямоугольником. Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь  золотой прямоугольник. Этот процесс  можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется, есть и золотой  треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.

Есть и золотой кубоид – это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике  каждая из пяти линий, составляющих эту  фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Принято считать, что  понятие о золотом делении  ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий  философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор  свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Kвадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

В эпоху Возрождения  усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро Дела Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “О перспективе в живописи”. Его считают творцом начертательной геометрии.

Леонардо да Винчи  также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Аль Брехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Аль Брехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Справедливость своей  теории Цейзинг проверял на греческих  статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве».

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики применение закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и пр.

Пропорция, выражаемая числом Ф, по мнению многих исследований, является наиболее приятной для человеческого  глаза.

Форму «золотого сечения» придавали книгам, столам почтовым открыткам. В дальнейшем книгам и другим бумажным изделиям стали чаще придавать форму прямоугольника с отношением сторон корень из двух. Это связано с тем, что при перегибании такого прямоугольника по средней линии образуются два прямоугольника с тем же соотношением сторон.

Число золотого сечения  Ф обладает какой-то странной неуловимостью. Оно появляется в различных проекциях, так и не давая ответа на вопрос, как это число связано с  тем или иным явлением. Интерес  к мистическому числу Ф достаточно периодичен. Он возникает с обнаружением нового проявления этого числа в каком-либо явлении природы.

Проходит время, и интерес  к нему спадает. Но ненадолго. Числу  Ф находят всё новое и новое  применение, но оно так и остается недоступным для ясного и полного понимания его свойств и степени его влияния на окружающий мир.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Числа Фибоначчи и проблема золотого сечения волнуют умы многих поколений ученых, философов, математиков, архитекторов. История золотого сечения уходит в пласты тысячелетий. В наше время трудно назвать сферу человеческой деятельности, где бы золотое сечение не находило практического использования. Оно, золотое сечение, вездесуще. Об этом убедительно говорят публикации, посвященные исследованию золотого сечения, число которых растет год от года. Сегодня уже нет надобности собирать отдельные факты в той или иной сфере научного поиска – накопленный эмпирический материал очень велик. Сегодня палитра самых разных проявлений золотого сечения обязывает выдвинуть тезис о том, что золотое сечение вовсе не частный случай пропорциональной зависимости, уникальной своими закономерностями, среди прочих пропорциональных соотношений, а что оно – золотое сечение – есть феномен, пронизывающий собой все уровни организации материальных объектов, обладающих динамическими качествами, т. е. общесистемное явление.