Основы тензорного исчисления

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Действия с  тензорами

1) Линейные операции.

Так как   - пространство тензоров ранга р - является линейным пространством, то в нем определены действия сложения и умножения на число:

(5.1)

Если тензоры представлены своими компонентами в одном и том же базисе, то линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация их компонент.

2) Тензорное умножение.

В отличие от линейных операций, это действие совершается с произвольными тензорами, не обязательно имеющими одинаковый ранг.

Если X - тензор ранга р, а Y - тензор ранга q, то результатом будет тензор ранга p+q, обозначаемый XY:

(5.2)

Тензорное произведение произвольного числа тензоров обладает свойством ассоциативности.

Для того чтобы перейти к другим действиям с тензорами, нам понадобится следующее определение.

Определение. Тензоры, представимые в виде abc…h, называются разложимыми.

Не каждый тензор является разложимым, но любой тензор может быть представлен в виде линейной комбинации разложимых.

3) Перестановка (i,j).

Перестановкой T(i,j) называется линейная функция, действующая из   в   (т.е. не меняющая ранг тензора) и состоящая для разложимых тензоров во взаимной перестановке векторов, стоящих на i-м и j-м местах:

 (5.3)

Например,

На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности, например:

Для тензоров второго ранга возможна только одна перестановка - Т(1,2), обозначаемая просто буквой Т:

Для произвольного тензора второго ранга X имеем: 

 

Из полученного соотношения для   видно, что матрица компонент тензора   в простом базисе является транспонированной матрицей компонент тензора X в том же базисе. Именно поэтому операция перестановки тензоров второго ранга называется еще транспонированием.

4) Свертывание (i,j).

Свертыванием   называется линейная функция, действующая из  в   (понижающая ранг тензора на 2) и состоящая для разложимых тензоров в скалярном перемножении вектора, занимающего i-е место, на вектор, занимающий j-е место:

 

(5.4)

Например,  .

На произвольные тензоры операция свертывания переносится по линейности, например:

Для тензоров второго ранга возможно только одно свертывание -  , обозначаемое просто :

Скаляр   называется следом тензора второго ранга X.

Если тензор записан в смешанных компонентах, то

(п - размерность пространства Эп). Таким образом, след тензора второго ранга совпадает со следом матрицы его смешанных компонент.

Для матриц ко- или контравариантных компонент предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно:

5) Простое умножение.

Простым умножением тензора X ранга р на тензор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании (р,р + 1) тензорного произведения XY и обозначаемая  :

(5.5)

 

Другими словами, простое умножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y. Для разложимых тензоров: 

исчисления" width="308" height="26" align="BOTTOM" border="0" />

Для произвольных тензоров:

В результате простого умножения тензора ранга р на тензор ранга q получается тензор ранга р+q-2. В частности, результатом простого умножения двух тензоров второго ранга будет тензор второго ранга.

6) Косое умножение.

Это действие имеет смысл только для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного пространства  . Как уже упоминалось, в  определено векторное произведение векторов 

Пусть  Операция косого умножения, обозначаемая  , приводит к тензору ранга р+q-1 и состоит в векторном перемножении последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y:

 (5.6)

Очевидно, что в случае двух векторов операция косого умножения совпадает с векторным умножением.

Для тензоров второго ранга с использованием векторного умножения строится еще одна операция - векторный инвариант. Это унарная (т.е. имеющая один аргумент) операция, применительно к тензору T обозначаемая как Тх, определяется для разложимых тензоров следующим образом

 

,

и распространяется на произвольные тензоры по линейности:

 

 

 

 

 

 

 

6. Поднятие и опускание индексов

Предположим, что X - это тензор типа (r,s). Давайте выберем его α-тый нижний индекс:   Символы, используемые для других индексов, несущественны. Поэтому, мы обозначили их точками. Затем рассмотрим тензорное произведение 

 (6.1)

Здесь g - дуальный метрический тензор с элементами . На следующем шаге свернем (6.1) по паре индексов k и q. Для этой цели мы заменяем их на s и проводим суммирование:

 (6.2)

В целом вся операция (6.2) называется поднятием индекса. Эта операция обратима. Обратная операция называется опусканием индексов:

 (6.3)

Подобно (6.2), операция опускания индекса (6.3) включает в себя две операции над тензорами: тензорное произведение и свертку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Тензоры  в криволинейных координатах

Мы будем рассматривать область   аффинного пространства, отнесенную к криволинейным координатам  . Радиус-вектор х произвольной точки М области  , отсчитываемый от фиксированной точки О, будет выражаться функцией

 (7.1)

достаточное число раз непрерывно дифференцируемой. В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точки принадлежат области  .

Для ориентации в строении данной координатной системы весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат   а остальные остаются постоянными. Рассмотрим, например, координатную линию  . Это значит, что   закреплены на постоянных значениях, так что радиус-вектор х (7.1) остается функцией одного лишь  ; мы получаем кривую, отнесенную к параметру  .

Через каждую точку М пройдет одна и только одна координатная линия  , именно, если   закрепить на значениях, которые они имеют в точке М. Частная производная  дает касательный вектор к координатной линии . Все сказанное справедливо и для любых координатных линий, так что через каждую точку М проходят п координатных линий с касательными векторами  . Эти векторы мы будем обозначать кратко

(7.2)

Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каждой точке М могут быть приняты за векторы аффинного репера  Таким образом, задание криволинейных координат в области   влечет появление в каждой ее точке М вполне определенного аффинного репера   Этот аффинный репер мы будем называть локальным репером в точке М.

Когда в качестве частного случая криволинейных координат мы берем аффинные координаты, функция (7.1) принимает вид:

(7.3)

и локальный репер в каждой точке М имеет те же векторы, что и основной репер, на котором построена данная аффинная координатная система.

Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладали аффинные координаты точек: приращения этих координат при переходе из точки   в точку   выражали координаты вектора смещения 

поскольку

(говоря о координатах  вектора, мы всегда будем иметь  в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для  векторов не имеют смысла). В  этом, можно сказать, и состояла  сущность аффинных координат  точек.

Для криволинейных координат   эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности данной точки М.

Смещаясь из точки   в бесконечно близкую точку  ,мы находим вектор смещения  , как приращение радиуса вектора х точки М:

 

Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем:

(7.4)

 

Это значит, что вектор смещения   в локальном репере  имеет координа-ты, равные приблизительно приращениям  .

Итак, для бесконечно малых смещений из точки М приращения криволинейных координат   снова выражают координаты вектора смещения  , если эти последние вычислять в локальном репере в точке М, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка.

Таким образом, при помощи локального репера криволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда, теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.

Можно сказать также, что приращения   криволинейных координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают с точностью 1-го порядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного в точке М.

Естественно, что, занимаясь геометрией аффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться с локальными реперами.

Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованию

(7.5)

которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно дифференцируемым в обе стороны. Выражая, обратно,

(7.6)

мы можем считать в уравнении (7.1) радиус-вектор х сложной функцией от  . Частная производная по   выразится тогда по известной формуле:

В правой части по i, конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат. Окончательно получаем:

 (7.7)

Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собой преобразование локального репера в каждой точке М, причем векторы нового локального репера разлагаются по векторам старого с коэффициентами  .Сравнивая с нашей прежней записью преобразования аффинного репера

мы видим, что (7.7) представляет собой ее частный случай, когда

(7.8)

а роль векторов  играют  .

Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например,  . Точка М может при этом пробегать всю область   или только некоторую поверхность в ней, или даже линию в зависимости от того, где тензорное поле задано.

Координаты тензора  можно вычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области  ) отнесено к каким-либо криволинейным координатам  . Тогда в каждой точке М возникает локальный репер, и координаты тензора   мы будем брать относительно именно этого репера. Эти координаты мы будем кратко называть координатами тензора   в данной системе криволинейных координат  .

Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле

(76.9)

то всегда будем подразумевать сказанное выше.

Если тензорное поле задано не во всей области  , а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях (7.9)  нужно задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора  в одной только точке М.

Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке М, а значит, и преобразование координат тензора  по обычному тензорному закону:

(7.10)

При этом, как мы видели, матрица   совпадает с матрицей  , а следовательно, обратная матрица   - с матрицей  :

= . (7.11)

Следовательно, закон преобразования (7.10) принимает вид

(7.12)

Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля   по закону (7.12). При этом частные производные   по   и обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Тензорное исчисление, математическая теория, изучающая величины особого рода - тензоры, их свойства и правила действий над ними. Тензорное исчисление является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц. Тензорное исчисление широко применяется в дифференциальной геометрии, теории римановых пространств, теории относительности, механике, электродинамике и других областях науки. Для описания многих физических и геометрических фактов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами - равенствами, связывающими эти числа или системы чисел.

Материал курсовой работы может быть использован как при изучении соответствующих разделов дифференциальной геометрии, так и для курса механики. В данной работе достаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются задачами, которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы. Приведенный список литературы позволяет при необходимости рассмотреть некоторые более сложные моменты теории тензорного исчисления.

Таким образом, в данной курсовой работе полностью раскрыты поставленные задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Шарипов Р.А.. Быстрое введение в тензорный анализ. – Уфа: БГУ, 2004.-50с.
2. Мак-Коннел А.Дж.. Введение в тензорный анализ с приложениями. – Москва: ФМ, 1963.- 411с.
3. Зубов Л.М., Карякин М.И.. Элементы тензорного исчисления. – Ростов: РГУ, 2003.- 108с.
4. Рашевский П.К.. Риманова геометрия и тензорный анализ.– Москва: Наука, 1967.-664с.
5. Акивис М.А., Гольдберг В.В.. Тензорное исчисление.– Москва: Наука, 1969.-352с.
6. Кочин Н.Е.. Векторное исчисление и начала тензорного исчисление.– Москва: Наука, 1965.-424с.
7. Борисенко А.И., Тарапов И.Е.. Векторный анализ и начала тензорного исчисление.– Москва: Высшая школа, 1966.-252с.