Плоскость Лобачевского

 

 

 

Реферат

Плоскость Лобачевского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

Введение……………………………………………………………………………3

 

1. Основное понятие плоскости Лобачевского………………………………….

 

1.   Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. Основные понятия. ……………

 

2. Основные факты в планиметрии Лобачевского. 

 

3. Аксиомы параллельности…………………………………….............

 

4. Открытие неевклидовой геометрии .Утверждения Евклидовой геометрии………………………………………………………………..

 

Заключение…………………………………………………………………………

Приложение………………………………………………………………………...

Список  литературы……………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью написания  данного реферата является изучение структуры плоскости Лобачевского.

Основными задачами являются:

1. Изучение модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского
2. Реализация аксиом параллельности
3. Проверка утверждений Евклидовой геометрии
4. Примеры неевклидовых факторов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Основное понятие плоскости Лобачевского

 

1. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. Основные понятия.

 

Аксиомы 1-3 I-ой группы аксиом Д. Гилберта вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости. Заменим аксиому параллельности V этой группы на следующую аксиому.

V’. Аксиома параллельности Лобачевского.

Через любую  точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.

Определение плоскости Лобачевского.

Плоскостью  Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.

Эта модель неевклидовой геометрии  была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829-1830 г.г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, т.к. в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.

То, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности . Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

Рассмотри кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в [2]

1. Представление основных объектов - точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l - произвольная прямая евклидовой плоскости. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис.1.

2.  Прямая l представляет «бесконечно удаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом.
3. Углы между прямыми - это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти прямые, рис. 1.
4. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно найти, например, в [2]

 

В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-4, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L₂ и ограничимся проверкой нескольких аксиом.

Проверим две первые аксиомы  I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L₂ по двум любым точкам. Пусть абсолют l - линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x₀, О) Î l и радиусом R имеют вид:

(x-x₀)² + y² = R²                                                  (5) 

Две точки B(x₁,y₁), C(x₂,y₂) лежат на некоторой «прямой» a тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5) для некоторых значений x₀ и R:

                                           (6)

В полученной алгебраической системе уравнений числа x₁, y₁ и x₂, y₂ заданы, а величины x₀ и R - искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим

x₁² – x₂² + y₁² – y₂² = 2x₀(x₁ – x₂).

 

 

 

Откуда 

Это решение определено, если x₁¹x₂, т.е. точки B и C не лежат на общем перпендикуляре x₁=x₂=х к оси OX. (Если x₁=x₂=x, то этот перпендикуляр представляет прямую в L₂, рис. 2(a)). Подставляя найденное значение x₀, в любое из уравнений (6), находим значение радиуса R. Тем самым найдена окружность (5), проходящая через точки B и C. Эта окружность единственна и в модели L₂ представляет единственную же «прямую» a, инцидентную точкам B и C, рис. 2.

 

 

Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.

Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели L₂. Пусть a - некоторая прямая и точка AÏa в модели L₂, рис.3. Пусть A_¥ и B_¥ - точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой a, рис.3. Используя формулу (5) точно так же, как при проверке аксиом 1-2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A_¥, обозначим ее g₁(A,A_¥), и, аналогично, единственная окружность g₂(A,B_¥), рис.3. Полуокружности g₁ и g₂ в верхней полуплоскости L₂  представляют две прямые, параллельные прямой a, т.к. имеют с ней общие точки A_¥=g₁Ça и B_¥=g₂Ça, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых g, представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного g₁, и g₂, рис 3. Эти прямые не имеют общих точек с a в L₂ даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с a.

Следствие 1.

В плоскости L₂ через точку A вне прямой a проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с a (расходящихся с a). При этом существует в точности две параллельные g₁ и g₂, имеющие общие точки с a на абсолюте l:

A_¥ = g₁ Ç aÎ l, A_¥ = g₂ Ç aÎ l,

Вывод.

В модели L₂ выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.

 

2. Основные факты в планиметрии Лобачевского

 

Принятие столь  экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L₂ неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.

Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L₂. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [2].

1. Сумма углов многоугольника  в плоскости L₂.

Рассмотрим треугольник, рис. 4(а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Т.к., по определению абсолюта вершины, А₁,А₂,А₃ - бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя сторонами А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ бесконечной длины. Т.к. в вершинах А₁, А₂ и А₃ окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А₁А₂, А₁А₃ и А₂А₃ образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 4(b) представлен n-угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.

Если внутренние окружности на рис. 4(a) и (b) взять чуть большего радиуса, то точки А₁А₂…А_n попадут в плоскость L₂ (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей, рис.4(с), то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.

Следствие 2.

В плоскости  Лобачевского L₂ сумма углов треугольника не постоянна и может принимать любое значение больше нуля и меньше p.

2. Взаимное расположение прямых  в плоскости L₂.

Всякие две  прямые в плоскости L₂ либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не пересекаются, рис. 3.

3. Перпендикуляр к стороне угла.

Для любого угла, образованного  пересечением прямых ОА_¥ и ОВ_¥, рис. 5, на любой из его сторон (например, на стороне ОА_¥) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА_¥ из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB_¥, рис. 5: MB_¥^OA_¥, и MB_¥||OB_¥. При этом, всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ÎОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ_¥, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"ÎMA_¥, не имеет общих точек со стороной OB_¥, рис. 5.

 

 

 

5. Четвертый признак конгруэнтности  треугольников. 

В абсолютной геометрии  без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны, [2].

Вывод 2.

Рассмотренные выше неевклидовы отношения 1-4 между  прямыми на плоскости Лобачевского являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского и реализуются в модели Пуанкаре L₂.

 

 

3. Аксиомы параллельности

Через любую точку  А не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.

Замечание

То, что через точку  А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b”  не пересекающуюся с “a”, аÇb =Æ, мог доказать еще Евклид.

Действительно, опустим  перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b”  к прямой АВ (рис.3.).

Если существует пересечение прямых “a”  и “b”  в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b”Ç”а”=Æ.

Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить  не мог. Это породило иллюзию, что  аксиома параллельности (V-постулат в «началах» Евклида – всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых)  может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата.

 

4. Открытие неевклидовой геометрии .Утверждения Евклидовой геометрии

Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго  до построения ее реализаций и последовавшие  затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания. Вначале подверглись анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивного формализма в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи математического формализма подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания.