Показатели вариации

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение

Высшего Профессионального Образования

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДОГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ЧГПУ»)

 

 

Контрольная работа

«Показатели вариации».

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ЗФ-209/114-4-1ч Ровный О.В. Проверила: Демцура С.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск, 2013 г.

 

 
Оглавление:

 
1. Понятие вариации, ее  виды. 
 
2. Показатели вариации. 
 
3. Свойства дисперсии, формулы ее расчета. 
 
4. Вариация альтернативного признака. 
 
5. Виды дисперсий, правило сложения дисперсий, коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение. 
 
6. Изучение концентрация распределения признака. 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие вариации, ее виды 
 
 
Вариация ¾ это различия в значениях признака и единиц совокупности. 
 
Она складывается под влиянием различных внутренних и внешних причин, действующих в различных направлениях. 
 
Задачи статистического изучения вариации: 

•  
  Изучение степени вариации признака;

•  
  Определение роли различных факторов в формировании разброса значение признака.

 
Изучение вариации в статистике имеет важное значение. Измерение вариации необходимо при проведении выборочных наблюдений, изучении взаимосвязей, определении однородности совокупности и типичности средней.. Воздействие на эти причины позволит уменьшить вариацию. 
 
Виды вариации: 

1.  
   вариация в пространстве – это различия в значениях признака у единиц совокупности, взятых в одно время;

2.  
   вариация во времени – это различия в значениях признака у одной единицы совокупности в различные моменты времени.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Показатели  вариации 
 
 
Для измерения вариации в статистике применяют следующую систему показателей. 
 
Абсолютные показатели: 

1.  
   размах вариации (R);

2.  
   среднее линейное отклонение (l);

3.  
   дисперсия (σ2);

4.  
   среднее квадратическое отклонение – СКО (σ).

 
Относительные показатели: 

1.  
   коэффициент осцилляции (VR);

2.  
   коэффициент вариации (Vσ).

 
1. Размах вариации — это различие между крайними значениями признака 
 
R = Xmax-Xmin 
 
Недостатки: 

1.  
   не учитывает повторяемость значения признака;

2.  
   если крайние значения являются аномальными, то размах не дает истинной картины вариации значений.

 
2  
. Среднее линейное отклонение — среднее абсолютное отклонение значений признака от своей средней, используется при анализе ритмичности производства, равномерности поставок товаров, изучении состава работников и т. д. 
 
3. Общепринятым показателем вариации является дисперсия. 
 
Дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от своей средней. Она не имеет единиц измерения. 
 
П  
ростая дисперсия (используется по не сгруппированным данным и при изучении вариации во времени);  
 
В  
звешенная дисперсия (используется по рядам распределения):  
 
4  
. Среднеквадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии (СКО), оно характеризует средний разброс индивидуальных значений вокруг своей средней. 
 
СКО имеет те же единицы измерения, что и признак. 
 
5. Коэффициент осцилляции — он характеризует максимальную степень разброса индивидуальных значений вокруг средней. 
 
VR=R/xср.•100% 
 
 
6. Коэффициент вариации — он характеризует среднюю степень разброса индивидуальных значений вокруг средней. 
 
 
Vσ = σ /xср.•100% 
 
 
Относительные показатели (VR, Vσ) используются для сравнения вариаций по различным совокупностям или по одной совокупности за разное время. Vδ используется также для характеристики однородности совокупности по данному признаку. 
 
V σ < 33%- совокупность однородная, 
V σ ≥ 33%- совокупность неоднородная. 
 
 
3. Свойства σ 2 и σ, формулы их расчета. 
 
 
Свойства: 

1.  
   Дисперсия и СКО σ 2 и σ – постоянной величины = 0.

2.  
   Если все значения признака (xi) уменьшить или увеличить на число а, то дисперсия и СКО σ 2 и σ не изменятся.

 
3  
) Если все значения признака (xi) умножить или разделить на число k, то σ 2 изменится в k 2 раз, а σ – в k раз. 
 
– упрощенная формула расчета дисперсии и СКО. 
 
Используя свойства дисперсии и СКО можно найти дисперсию признака в интервальных рядах распределения методом моментов: 

1.  
   находим середины интервалов xi;

2.  
   преобразуем данные xi׀ = (xi – A) / k , где А – середина интервала с наибольшей частотой, k – ширина интервала;

3.  
   определяем среднюю для преобразованных данных

 
xср׀ = ∑xi׀fi / ∑fi; 

4.  
   определяем начальную дисперсию 

 
σ 2 = k2• (∑(xi׀)2fi / ∑fi – (xср׀)2) 
 
Для нормального закона распределения для показателей вариации существует взаимосвязь. 
 
R ≈ 6 · σ 
 
σ = 1,25· l 
 
Правило трех сигм для нормального закона распределения – в интервал 
 
(x – 3 σ, x + 3 σ)  попадает 99,7% всех индивидуальных значений xi. 
 
Коэффициент асимметрии можно найти по формуле 
 
_ 
 
Kas = (x – Mo)/σ 
 
 
Kas находится в интервале от -3 до 3. Чем ближе к 0, тем асимметрия слабее, чем ближе по модулю к 3, тем сильнее. 
 
 
4. Вариация альтернативного признака. 
 
 
Альтернативным в статистике считают атрибутивный признак, который может иметь только два значения. Если этот признак у единицы совокупности есть, то он равен 1, если нет, то он равен 0. 
 
Определяется доля единиц, имеющих признак во всей совокупности: p=m/n, где m-это количество единиц, имеющих признак; n-это количество всех единиц. 
 
q=1-p  это доля единиц, у которых нет признака. 
 
Тогда распределение единиц совокупности по альтернативному признаку будет иметь вид: 

xi	1	0
fi	p	q

 

 
 
Дисперсия и СКО альтернативного признака находятся по формулам: 
 
σ 2 = p•q 
 
____  
 
σ =√p•q 
 
5. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий 
 
 
Вариация признаков в совокупности складывается под влиянием различных внешних и внутренних причин и факторов. Влияние некоторых из этих факторов можно изучить, проведя группировку совокупности по этому фактору. По проведенной группировке рассчитываются различные виды дисперсий: 
 
1) Общая дисперсия – характеризует всю вариацию, складывающуюся под влиянием всех факторов. 
 
 
σ 2=∑(xi-xср.)2fi / ∑fi 
 
 
2) Межгрупповая дисперсия – характеризует вариацию, складывающуюся под влиянием только группировочного признака. 
 
 
∂ 2=∑(xср, i - xср.)2n i / ∑n i , 
 
где xср. – общая средняя для всей совокупности; 
 
xср, i. – групповые средние; 
 
n i – количество единиц в группах. 
 
 
3)Внутригрупповая дисперсия – характеризует вариацию, складывающуюся под влиянием всех других факторов, кроме группировочного. Их будет столько, сколько групп в проведенной группировке. 
 
σ i 2=∑(x i - xср,.i.)2 / n i , 
 
 
Средняя из внутригрупповых дисперсий: 
 
 
σ i2ср. = ∑ σ i2• n i / ∑n i 
 
 
Правило сложения дисперсий 
 
 
σ 2 = ∂2 + σ i2ср. 
 
Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий. 
 
 
Эмпирический коэффициент детерминации и корреляционные отношение 
 
 
Сравнение различных видов дисперсий позволяет изучить влияние группировочного фактора на вариацию изучаемого показателя. Для этого применяют: 
 
1. Эмпирический коэффициент детерминации (ŋ2) 
 
 
ŋ2 = ∂2 / σ 2 · 100% 
 
 
Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей, тем сильнее влияние группировочного фактора на общую вариацию. 
 
2. Для изучения тесноты взаимосвязи между группировочным фактором и результативным признаком, рассчитанным по группам ( в результате аналитической группировки), применяетсяэмпирическое корреляционное отношение (ŋ) 
 
_______ 
 
ŋ =√ ŋ2 / 100 ,  
 
0≤ ŋ≤1 
 
Для того, чтобы сделать вывод по значению ŋ о тесноте взаимосвязи используются соотношения Чэддока: 

ŋ	<0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99	1
Теснота связи	Слабая	умеренная	Заметная	тесная	очень тесная	функцио-нальная

 

 
Для ŋ<0,1 – нет связи. 
 
 
6. Изучение концентрации распределения признака. 
 
 
Концентрация распределения – это неравномерность распределения признака по группам при проведении группировки. 
 
Оценка степени концентрации проводится графически с помощью построения кривой концентрации Лоренца. 
 
Для ее построения необходимо определить:  
 
1) доли групп по кол-ву единиц совокупности (dxi) и накопленные доли (dxiн);  
 
2) доли групп по значениям признака (dyi) и накопленной доли по нему (dyiн). Эти доли определяются по результатам структурной группировки единиц совокупности по заданному признаку. 
 
Строятся кривая концентрации Лоренца и идеальная кривая равномерного распределения. 
 
 
d yiH 
 
 
равномерное 
 
S 
 
Кривая Лоренца 
 
dxiH 
 
 
Степень концентрации характеризуется площадью S между равномерной кривой и кривой концентрации Лоренца. Чем эта площадь больше, тем больше концентрация. 
 
 
Оценка степени концентрации осуществляется с помощью:  
 
Коэффициента Лоренца: 
 
 
L=∑| dxi – dyi| / 2 , 
 
0<l<1 
  
Коэффициента Джини: 
 
 
G=1-[2·∑( dxi· dyiн) / 10 000] + ∑( dxi· dyi) / 10 000 , 
 
0≤G≤1 
 
Если G<0,3 – слабая концентрация; 
 
G € [0,3; 0,5] – средняя концентрация; 
 
G € (0,5; 1) – сильная концентрация.