Положительные обыкновенные и десятичные дроби

 

, , … , , - единицы десятичных разрядов ( - единица первого десятичного разряда – разряда десятых долей, - единица второго десятичного разряда – разряда сотых долей и т.д.).

A, а₁а₂…а_n-1a_n  - краткая запись ПКДД – записывается целая часть А, затем запятая, потом последовательно слева направо выписываются цифры всех десятичных разрядов, начиная с первого.

Например, сумму  вида 2 + + + можно считать записью ПКДД, так как соблюдаются все требования определения  ПКДД.  Легко записать краткую запись ПКДД – 2,534.

 

Сумму вида  1 + + нельзя считать записью конечной десятичной дроби, так как, несмотря на наличие разрядных слагаемых, соответствующих второму и третьему десятичным разрядам, отсутствует разрядное слагаемое, соответствующее первому десятичному разряду.

 

Для того, чтобы прочитать  конечную десятичную дробь по ее краткой  записи, достаточно:

1. прочитать целую часть и добавить слово «целых (ая)»;
2. дробную часть прочитать как числитель;
3. знаменатель прочитать как долю, выраженную единицей последнего десятичного разряда.

Например,  2,534 читается как «две целых, пятьсот тридцать четыре тысячных».

Множество всех ПКДД обозначают D₊.

 

Теоремы о конечных десятичных дробях

                                                    ________             __________

Пусть даны две ПКДД      a = А, а₁а₂…а_n   и b = B, b₁b₂ … b_n.

 

Теорема 1 (о  равенстве ПКДД):

Две ПКДД равны тогда  и только тогда, когда равны их целые части и равны цифры всех десятичных разрядов.

("a, bÎ D₊) (a = b Û A = B Ù a₁ = b₁ Ù a₂ = b₂ Ù … Ù a_n = b_n).

 

Теорема 2 (о  сравнении ПКДД):

ПКДД a больше ПКДД b в одном из трех случаев:

1. Если целая часть дроби a больше целой части дроби b.

       ("a, bÎ D₊) (a > b Û A > B).

2. Если целая часть  дроби a равна целой части дроби b, но цифра в разряде десятых долей у дроби a больше цифры в разряде десятых у дроби b.

       ("a, bÎ D₊) (a > b Û A = B Ù a₁ > b₁).

3. Если целая часть  дроби a равна целой части дроби b и у данных дробей равны цифры в разряде десятых долей, равны цифры в разряде сотых долей, и т.д., но найдется десятичный разряд, в котором у дроби a цифра больше, чем цифра в этом же разряде у дроби b.

       ("a, bÎ D₊) (a > b Û A = B Ù a₁ = b₁ Ù a₂ = b₂ Ù … Ù a_k-1 = b_k-1 Ù a_k > b_k).

 

Таким образом, для того, чтобы сравнить две ПКДД, достаточно:

1. сравнить их целые части.

Та ПКДД больше, у которой  целая часть больше. Если их целые  части равны, то необходимо перейти  к шагу 2;

2. сравнить цифры в разряде десятых долей;

Та ПКДД больше, у которой  цифра в разряде десятых долей  больше. Если цифры в разряде десятых  долей тоже равны, то перейти к  шагу 3;

3. сравнить цифры в разряде сотых долей, тысячных долей и т.д., пока не обнаружится разряд, в котором цифры у данных дробей различны.

Та ПКДД больше, у которой  цифра в найденном разряде  больше. Иначе перейти к шагу 4;

4. Если целые части ПКДД дробей равны и равны цифры всех их десятичных разрядов, то данные дроби равны.

 

Например, 2,456 > 1, 89 , так как 2 > 1.

                    2, 456 > 2, 2976 , так как 2 = 2, но 4 >2.

                    2,4567 > 2, 4561, так как 2 = 2, 4 = 4, 5 = 5, 6 = 6, но 7 > 1.

                   

Теорема 3: Любую ПКДД  можно записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10ⁿ.

     _______                 ________

(" А, а₁а₂…а_n Î D₊) (А, а₁а₂…а_n = )

Для того, чтобы записать любую ПКДД в виде обыкновенной, достаточно:

1. отбросить запятую и полученное число записать в числитель;
2. в знаменатель записать 10 в такой степени, сколько цифр после запятой у данной ПКДД.

Например, записать дробь 1, 003 в виде обыкновенной дроби.

1. отбросим запятую и полученное число 1003 запишем в числитель;
2. в знаменатель запишем 10³, так как у данной ПКДД после запятой три цифры;
3. получаем дробь .

Теорема 4: Любую обыкновенной дроби со знаменателем 10ⁿ можно записать в виде ПКДД.

(" Î М₊)( = А, а₁а₂…а_n)

Для того, чтобы записать любую обыкновенную дробь со знаменателем 10ⁿ в виде ПКДД, достаточно:

1. записать числитель;
2. отделить в записанном числе справа налево с помощью запятой столько цифр, какова степень 10. При необходимости можно приписать слева к записи числа нужное количество нулей.

Например, записать дробь в виде ПКДД.

1. запишем числитель  57;

2. в записанном числе  57 отделим справа налево с помощью  запятой 5 цифр, так как у исходной  обыкновенной дроби в знаменателе  было 10⁵. Запись числа 57 содержит всего две цифры, поэтому необходимо слева к записи этого числа приписать два нуля, поставить запятую и еще приписать ноль для обозначения целой части;

3.  получаем дробь  0, 00057.

 

Теорема 5: Если к записи дробной части ПКДД приписать справа любое количество нулей, то получится ПКДД, равная данной.

     ________           ____________   __________     ("А,а₁а₂…а_nÎD₊)(А,а₁а₂…а_n00…0=А,а₁а₂…а_n)

 

Например, 1,23 = 1, 230 = 1, 2300 = 1, 23000 и т.д.

 

Над положительными конечными  десятичными дробями можно выполнять  операции: сложение, вычитание, умножение  и деление. Алгоритмы данных операций строятся на основе алгоритмов арифметических действий с натуральными числами. Свойства операций над ПКД дробями те же, что и над обыкновенными дробями (см.§1).