Построение графиков и исследование функций

Введение

Построение  графиков и исследование функций - важные темы математического анализа. Чтобы  выполнить построение, нужно сначала  исследовать функцию. А чтобы  исследовать, нужно знать алгоритм, уметь находить область определения, производную первого и второго  порядка, односторонние пределы, асимптоты  и так далее. Рассмотрим алгоритм полного исследования функции.

Цель и задачи. Изучить все необходимые свойства для исследования функции. Научиться применять их на практике и строить графики.

Данная  работа состоит из двух параграфов.

  1.Основные свойства функции: а) Определения с примерами

                                                    б) Необходимые теоремы(без доказательства)

         2.Задачи с использованием свойств.

                                              1.   Основные свойства функций

1. Область определения

Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу хХ поставлено в соответствии некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определенная функция, и пишут  у= f(х). Переменная х называется независимой переменной  (или аргументом функции), множество  Х – областью определения функции  f(х), а число у, соответствующее данному значению аргумента х, - частным значением функции в точке х.

Пример:y=x – 2x²                       D(y)=R

2. Четность (нечетность) функции

 

Определение. Функция y=f(x) называется четной, если

1.D(f)         (-x) D(f)

                                                        2. D(f)f(-x)=f(x)

Пример:y=x⁴ – 2х²

Y(-x) = (-x)⁴ – 2(-x)² = x⁴ – 2x² = y(x)

Определение. Функция y=f(x) называется нечетной, если D(f)

                                                         1.(-x) D(f)

                                                         2.f(-x)=-f(x)

Пример: y=1/x - нечётная, так как y(-x) = -1/x = -y(x).

3. Периодичность  функции

 

Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует число Т=0, называемое периодом функции y=f(x), такое, что

1.D(f)(x+T), (x-T)D(f)

2.D(f)    f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Обычно под периодом функции  понимают наименьший из положительных  периодов, если такой период существует.

Пример:y=sinx         T=2П

 

 

4. Точки пересечения с осями координат

Находим точки пересечения сначала  с осью Ох, а затем Оy

Пример:

0x: 0=0y:    y=

                                                                       Y=0

 

X=0

Вывод: данная функция пересекает оси в  точке А(0;0)

5. Непрерывность

 

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке а, если = f(a).

Пусть функция f(x) определена в правой (левой) полу окрестности точки а, т.е. на некотором полуинтервале [a,a+ɛ) (соответственно (a-ɛ,а]). Функция   f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке а, если f(а+0)= f(а)  (f(а-0)= f(а)), где f(a+0) - , f(a-0) -

Пример:y= x           определена на  [0;+∞)

y(0+0)= =0                    y(0) = 0

Вывод:

Теорема. Для того чтобы функция была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно,  чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева.

 

6. Асимптоты

 

Часто необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.

 

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

 

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение.  Прямая х=сназывается вертикальной асимптотой графика функции у= f(х),если хотя бы один из пределов  или равен +∞ или   -∞

Определение. Прямая kx+b называется наклонной асимптотой графика функции у=f(х) при х→+∞, если эта функция представлена в виде f(х)=kx+b+α(х), где α(х)→0 при х→+∞

Теорема. Для того чтобы прямая у=kx+b  была наклонной асимптотой графика функции у= f(х)  при х→+∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Аналогично вводится понятие наклонной  асимптоты графика функции при  х→-∞.

Пример:y=x=-1  т. Разрыва

Y(-1+0) =lim

Y(-1-0)==вертикальная асимптота

 

наклонная асимптота

 

7. Промежутки монотонности

 

Достаточные признаки монотонности функции.

Определение:Последовательность называется строго возрастающей(убывающей), если     N   (

Пример:y=(x²(x-2)²)’=2x(x-2)²+2x²(x-2)=4x(x-2)(x-1)

Y=0        т.е.4x(x-2)(x-1)=0

     4x=0                 x-2=0                     x-1=0

X=0                   x=2                        x=1 _             +               _                   +

                      

Теорема.(достаточное условие строгой монотонности функции). Если f (x)>0 ( f (x)<0)X,  то f(x) возрастает  (убывает) на промежутке Х.

 

 

8. Точки экстремума

 

Определение. Говорят, что функция у= f(х)  имеет в точке х локальный максимум ( минимум), если существует такая окрестность точки х, в которой при х = х выполнятся неравенство f(х)<f(x ) (соответственно f(x) >f(x ) )

Локальный максимум и локальный  минимум объединяются общим названием локальный экстремум (или просто экстремум)

Пример:y=(x²(x-2)²)’=2x(x-2)²+2x²(x-2)=4x(x-2)(x-1)

Y=0        т.е.4x(x-2)(x-1)=0

     4x=0                 x-2=0                     x-1=0

      X=0                   x=2                        x=1

     Y=0                    y=0                       y=1

   Min                     max                      min

Вывод: следовательно т.А(0;0) – т.   Min     т.В(2;0) - max    т.С(1;1) - min

 

Теорема. (необходимое условие экстремума). Если функция у= f(х)   имеет в точке х  экстремум, то производная  f (х) в точке х  или равна нулю, или не существует.

Значение аргумента функции    у= f(х), при которых либо производная функции равна нулю, либо производная не существует, но сама функция непрерывна, принято называть точками возможного экстремума.

Теорема. (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция  у= f(х)  дифференцируема в некоторой окрестности точки х  возможного экстремума. Тогда если при переходе через точку х (в сторону возрастания х) производная f (х)меняет знак с плюса на минус ( с минуса на плюс), то в точке х   функция   у= f(х)  имеет локальный максимум (минимум) Если при переходе через точку х   производная функции не меняет знака, то в точке х   функция  у= f(х)  не имеет экстремума.

Теорема. (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке х  возможного экстремума функция  у= f(х)  имеет вторую производную. Тогда если   f  (х) < 0  (f  (x )>0), то функция у= f(х)  имеет в точке х локальный максимум (локальный минимум).

 

9. Промежутки выпуклости

Определение. Говорят, что график функции имеет на интервале (а,b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (а,b) график лежит не ниже (не выше) любой касательной.

Теорема. Если на интервале (а,b) существует вторая производная функции у= f(х)  и если эта производная неотрицательна (не положительна) всюду на этом интервале, то график функции у= f(х)  имеет на интервале (а,b) выпуклость направленную вниз (вверх).

Пример:y= x⁴-2x³-1

Y’=4x³-6x²

Y ‘’=12x²-12              y =0   т.е.    12x²-12=0

X=0   x=1

 

 

10. Точки перегиба

 

Определение. Точка М (с,f(c)) графика функции у= f(х)  называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки с, в пределах которой слева и справа от точки с направления выпуклости графика функции у= f(х)  различны.

Теорема. (необходимое условие перегиба) если график функции   у= f(х)  имеет перегиб в точке М (с,f(c)) и вторая производная f”(х) непрерывна в точке с, то  f”(с)=0

Теорема. (достаточное условие перегиба) Если в некоторой окрестности точки с существует вторая производная функции у= f(х), причем    f”(с) = 0 и в этой окрестности слева и справа от точки с знаки   f(х)различны, то график функции имеет перегиб в тоске М (с,f(c)).