Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Июня 2015 в 16:47, курсовая работа
Цель данной курсовой работы — построение периодических решений дифференциальных уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
рассмотреть некоторые исторические и теоретические сведения о дифференциальных уравнениях;
рассмотреть построение периодических решений дифференциальных уравнений;
научиться определять периодические решения дифференциальных уравнений.
Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного
члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных
уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений
такого уравнения также будет его решением.
Все остальные линейные дифференциальные
уравнения называются неоднородными диффе
Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y [1].
Периодическое решение некоторого дифференциального уравнения целесообразно искать в виде суммы некоторого ряда Фурье (формула 3.1):
(3.1)
Заметим, что если уравнение (формула 3.2):
имеет периодическое решение x0(t) периода Т, то правая часть уравнения (формула 3.2) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является периодической функцией периода Т по первому аргументу. Действительно, подставляя в уравнение (формула 3.2) периодическое решение х = х0 (t), получаем тождество (формула 3.3) [4,c. 143]:
(3.3)
Заменяя в этом тождестве t на (t + Т), мы в силу периодичности функции х0 (t) и ее производных не изменим левой части уравнения и не изменим аргументов правой части, начиная со второго, следовательно (формула 3.4):
(3.4)
Т. е. функция F вдоль интегральной кривой x = x0(t) имеет период Т по явно входящему аргументу t.
Следовательно, если правая часть уравнения (формула 3.2) при любом выборе x0(t) не является периодической функцией по первому аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция F не зависит явно от t, т. е. является постоянной по отношению к аргументу t, то F можно рассматривать как периодическую по t функцию любого периода и поэтому не исключена возможность существования периодических решений какого угодно периода.
Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения (формула 3.5):
Для существования периодического решения необходимо предположить, что f является периодической функцией. Без существенного ограничения общности можно считать, что f(t) — периодическая функция периода , так как если бы функция f(t) имела период Т, то после преобразования независимого переменного t правая часть стала бы функцией периода по новому независимому переменному .
Предположим, что функция f(t), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье (формула 3.6):
(3.6)
Периодическое решение ищем в виде (формула 3.7):
(3.7)
Дифференцируя ряд (формула 3.7) почленно два раза и подставляя в уравнение (3.5), получим (формула 3.8):
-
Откуда, если а не равно целому числу, определяем коэффициенты ряда (формула 3.9):
(3.9)
Следовательно, уравнению (формула 3.5) формально удовлетворяет ряд (формула 3.10):
Очевидно, что ряд (формула 3.10) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (формула 3.6), в силу непрерывности функций f(t), сходится равномерно, а коэффициенты ряда (формула 3.11):
-
составленного из вторых производных от членов ряда (формула 3.10), отличаются от коэффициентов и ряда (формула 3.6) лишь не зависящим от t, монотонно стремящимся к 1 при множителем . Следовательно, ряд (формула 3.11) сходится равномерно, а значит, ряд (формула 3.10) можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд (формула 3.10) не только формально удовлетворяет уравнению (формула 3.5), но его сумма x(t) существует и является периодическим решением уравнения (формула 3.5) [4,c.145].
Если а мало отличается от целого числа n и , то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при приближении а к n хотя бы одного из коэффициентов .
Если же a = n и хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то периодических решений не существует, так как резонирующим слагаемым в правой части уравнения (формула 3.5) согласно принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравнения (формула 3.5) непериодическое слагаемое вида тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями. Следовательно, при a = n периодическое решение уравнения (формула 3.5) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов т. е. в случае (формула 3.12):
(3.12)
В последнем случае, т. е. при a = n, , периодическое решение уравнения (формула 3.5) существует, причем при коэффициенты определяются по формулам (формула 3.9), а коэффициенты и остаются произвольными, так как является при произвольных и решением соответствующего однородного уравнения [4,c.146].
Пример 1:
Определить периодическое решение уравнения .
Решение:
Ищем решение в виде ряда .
Имеем a=4=22, a0=0, ak=0, bk= .
Функция f(t)= не содержит члена ), значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формуле 3.9 находим коэффициенты:
А0=Аk=0, B1=0, Bk= .
Все периодические решения задаются формулой 4.1:
,
где — произвольные постоянные.
Пример 2:
Определить периодическое решение уравнения .
Решение:
Имеем a=1.
Проверим выполнимость условий по формуле 3.12:
Условия существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть (формула 4.2):
которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого
Пример 3:
Найти периодическое решение уравнения
.
Решение:
Функция f(t) — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале ( :
Решение данного уравнения ищем в виде (формула 4.3):
Имеем a=-1, a0= , a2k-1=0, a2k= , bk= .
По формуле 3.9 находим коэффициенты:
А0= , А2k-1= , А2k= , Bk= .
Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида (формула 4.4):
В ходе выполнения курсовой работы была достигнута поставленная цель: построение периодических решений дифференциальных уравнений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
Информация о работе Построение периодических решений дифференциальных уравнений