Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Ноября 2013 в 15:16, реферат
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
Гиперболический параболоид.
4. Конус и цилиндры второго порядка.
Ä 1°. Конус второго порядка
Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.
Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М0(х0, у0, z0) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).
Так как точка М0(х0, у0, z0) лежит на конусе (6), то :
|
Координаты (х, у, z) любой точки М
прямой L равны соответственно tx0 , ty0
, tz0 , где t—некоторое число. Подставляя
эти значения для х, у и z в левую часть
(6), вынося затем t2 за скобку и учитывая
(29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе.
Таким образом, утверждение доказано.
Представление о форме конуса может быть
получено методом сечений. Легко убедиться,
что сечения конуса плоскостями z = h представляют
собой эллипсы с полуосями :
Ä 2°. Эллиптический цилиндр.
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .
3. Гиперболический цилиндр.
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .
4. Параболический цилиндр.
a33 z2 + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат
и простых арифметических операций
из уравнения, (19) мы получим новое, компактное
уравнение параболического