Практическое применение производной

 

Сплайн-функция Ŝ_k(x) є S_k(K_n) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝ_k(x_j) = f(x_j) для j = 0,1,…,n

 

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.

Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [x_j-1 ,x_j]

Здесь s²_j, c_j1, c_j0 неизвестны для j = 1, 2, …, n

Последние исключаются в силу требования s(x_j) = y_j:

Дифференцируя эту функцию и  учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:

относительно n+1 неизвестных s²₀, s²₁,…, s²_n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

 

Нормальный случай(N):

 

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(x_n-x₀))=f(x)):

 

Заданное сглаживание  на границах:

 

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

j	xj	yj	hj	yj-yj-1
0	0	0	π/2	1
1	π/2	1	π/2	-1
2	π	0	π/2	-1
3	3π/2	-1	π/2	1
4	2π	0

 

 

Сплайн-функция получается такая:

 

 

5-2. Формула  Тейлора

 

Разложение функций в бесконечные  ряды позволяет получить значение функции  в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в  программировании и других дисциплинах

 

Говорят, что функция разлагается на данном  промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a₀ + a₁(x - a) + a₂(x - a)² + … + a_n(x - a)ⁿ + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для  функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.

 

С помощью ряда Маклорена можно  получить простые разложения элементарных функций:

 

5-3. Приближенные  вычисления

 

Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:

 

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: , x₀=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

С помощью этой формулы можно  получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:

 

Заключение

 

Применение производной довольно широко и его сложно полностью  охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.

 

 

Литература

 

М. Я. Выгодский	Справочник по высшей математике
И. Н. Бронштейн,  К. А. Семендяев	Справочник по математике для инженеров  и учащихся ВТУЗов
И. М. Уваренков,  М. З. Маллер	Курс математического анализа,т.1
В. А. Дударенко,  А.А. Дадаян	Математический анализ
Н. С. Пискунов	Дифференциальное и интегральное исчисления
Т. И. Трофимова	Курс физики
О. О. Замков А. В. Толстопятенко Ю. Н. Черемных	Математические методы в экономике
А. С. Солодовников В. А. Бабайцев А. В. Браилов И .Г. Шандра	Математика в экономике

 

 

Содержание:

Введение

1. Понятие производной

  1-1. Исторические сведения

  1-2. Понятие производной

  1-3. Правила дифференцирования  и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

  2-1. Касательная к кривой

  2-2. Касательная плоскость к поверхности

3. Использование производной в  физике

  3-1. Скорость материальной точки

  3-2. Теплоемкость при данной  температуре

  3-3. Мощность

4. Дифференциальное исчисление  в экономике

  4-1. Исследование  функций

  4-2. Эластичность  спроса

  4-3. Предельный анализ

5. Производная в приближенных  вычислениях

  5-1. Интерполяция

  5-2. Формула  Тейлора

  5-3. Приближенные  вычисления

Заключение

Список  использованной литературы