Предел функции в точке

Предел функции в точке

Пусть функция  определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки .

 Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x из интервала , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут .

Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке x₀, если для любой последовательности чисел , сходящейся к ,   .

         Если  определена в интервале , то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут . Аналогично определяется .

Если функция  определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или или Аналогично определяются   и .

 

Предел функции обладает теми же арифметическими свойствами, что и предел последовательности:

Если существуют конечные пределы  ,  , то

4. (при ).

          То же  верно для односторонних пределов в конечной точке и пределов на бесконечности.

На практике часто требуется  найти пределы функций в случаях, когда не выполняются условия существования и конечности пределов и и отличия последнего от нуля в случае отыскания предела частного. Тогда говорят об особых случаях и неопределённостях.

Особые случаи

 

1. Сумма двух бесконечно больших величин одного знака есть бесконечно большая величина того же знака.
2. Сумма бесконечно большой и ограниченной величины одного знака есть бесконечно большая величина.
3. Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой величиной.
4. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой величиной.
5. Произведение бесконечно малой и ограниченной величины есть бесконечно малая величина.
6. Произведение бесконечно большой и отграниченной от нуля величины есть бесконечно большая величина

 

При вычислении пределов алгебраических функций встречаются  неопределённости видов  , и

 

Методы раскрытия  неопределённостей

 

Чтобы избавиться от неопределённости (как говорится, «раскрыть неопределённость»), нужно провести преобразования выражений, при которых значения выражений сохраняется, но  изменяется форма выражения таким образом, что неопределённость исчезнет и уже можно пользоваться арифметическими свойствами или особыми случаями.

Раскрытия неопределённости вида

в случае отношения

степенных функций  при стремлении переменной к бесконечности

 

Согласно основному  свойству дроби, если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, отличное от нуля, её значение при этом не изменится.

Эффективен приём деления  числителя и знаменателя на старшую  степень переменной, стоящей в  знаменателе. Можно делить на старшую  степень  переменной, стоящей в числителе, или на старшую степень переменной, встречающуюся во всём выражении, но в первом случае гарантировано, что предел знаменателя преобразованной дроби будет конечен и отличен от нуля.

Можно доказать, что значение предела определяется старшими  степенями числителя и знаменателя, а именно:

1. Если степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю.
2. Если степень числителя больше степени знаменателя, предел бесконечен.
3. Если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя.

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. Найти пределы:

 

а) ,         б) ,           в) .

 

Решение. а) (теперь дробь можно сократить на х²) = .

 

б)  =

 

в)  = (разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной х²)

 

Раскрытие неопределённости вида

Нужно в числителе и знаменателе  выделить множитель вида «переменная  минус её предельное значение» и  сократить дробь. После этого  неопределённость может исчезнуть  и  уже можно пользоваться арифметическими свойствами или особыми случаями, или же нужно снова применить описанный приём. 

При этом нужно очень чётко представлять себе, что согласно определению предела  функции в точке деления на ноль не происходит («На 0 делить нельзя!»), выделенный множитель есть величина бесконечно малая и отличная от нуля.

В случае отношения многочленов  возможность выделения  множителя вида «переменная минус её предельное значение» доказывается в курсе алгебры, она следует из рассматриваемой в теории многочленов теоремы Безу, которая гласит, что число х_о является корнем многочлена P_n(х) тогда и только тогда,  когда многочлен делится без остатка на двучлен (х - х_о).

Для выделения множителя (х - х_о) можно использовать деление многочлена на многочлен «уголком», схему Горнера, формулы сокращённого умножения или удачную группировку.

 

В случае наличия иррациональностей  сначала нужно избавиться от иррациональности, дающей неопределённость, путём умножения на сопряжённое выражение. При этом:

- разность квадратных корней  умножается на их сумму,

- сумма квадратных корней умножается  на их разность,

- разность кубических корней  умножается на неполный квадрат  их суммы,

- сумма кубических корней умножается  на неполный квадрат их разности, и т.д.

Важно понимать, что вообще избавиться от иррациональности  при этом не удастся, да и не нужно: сама по себе она не опасна, если только не приводит к неопределённости.

 

Примеры. Вычислить пределы:

а)   б)

 

Решение. а) При подстановке в числитель и знаменатель они обращаются в нуль.  Следовательно, имеем неопределенность вида

Разложим числитель  и знаменатель на множители и  перейдем к пределу

б) В этом примере имеем неопределенность Поскольку выражение содержит квадратичные иррациональности – разности корней, умножим числитель и знаменатель на произведение сопряженных им иррациональностей – сумм корней , получим

.

 

Раскрытие неопределённости вида

 

Чтобы раскрыть эту неопределённость, нужно разность привести к виду дроби, например, умножением и делением на сопряжённое выражение или приведением дробей к общему знаменателю. В результате либо неопределённость исчезнет, либо ситуация сведётся к  одному из особых случаев, либо можно будет воспользоваться арифметическими свойствами.

 

Пример. Найти предел

.

 

Решение. Имеем неопределенность . Приведем разность к виду дроби:

.

 

 

Типовые задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Доказать по определению, что .

1.1.      1.2.      1.3.

 

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

2.1.     2.2.

2.3.     2.4.

2.5.                                             2.6.  

 

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3.1.                3.2.

3.3.     3.4.

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

4.1.                             4.2.

4.3.  4.4.

 

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

5.1.   5.2.

5.3.                                                5.4.

 

Задача 6. Вычислить пределы функций.

6.1.               6.2.

6.3.     6.4.

 

Задача 7. Вычислить пределы функций.

7.1     7.2.

7.3                                             7.4 

7.5.                       7.6.