Прикладная математика

 

В таблице 6 заполняем только одну диагональ  для значения ξ = 700.

    Наибольшее  число на этой диагонали:

                                    Z_max = 101 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х4* = х4(700) = 100 тыс. руб.

    На  долю остальных трех предприятий  остается 600 тыс. руб. Из таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

    х3* = х3(700 – х4*) = х3(600) = 300 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

        х2* = х2(700 - х4* - х3*) = х2(300) = 300 тыс. руб.

На долю первого  предприятия остается

        х1* = 700 - х4* - х3* - х2* = 700 – 100 – 300 – 300 = 0 тыс. руб.

    Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

                       х1* = 0; х2* = 300; х3* = 300; х4* = 100.

    Оно обеспечивает производственному объединению  наибольший возможный прирост прибыли 101 тыс. руб., который можно найти по формуле

            Z_max = f₁(x1*)+ f₂(x2*)+ f₃(x3*)+ f₄(x4*),

            Z_max = 0+45+30+26 = 101 тыс. руб. 
 

    МАТРИЧНАЯ ИГРА КАК МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ  И СОТРУДНИЧЕСТВА 

    Игроки  Первый и Второй играют в матричную  игру с матрицей

                        А = .

    Пусть стратегия Первого  есть Р, а Второго  – Q. Тогда математическое ожидание выигрыша Первого игрока (его средний выигрыш) равно

               М(Р, Q) = ,    

    Р*(р1, р2) и Q*(q1, q2, q3, q4) – оптимальные стратегии Первого и Второго игроков.

    ν = М(Р*, Q*) – цена игры.

    Прежде  чем искать оптимальную стратегию  проверим, нет ли седловой точки

                                 a_ijo ≤ а_iojo ≤ a_ioj     при любых i = 1, 2    и   j = 1, 2, 3, 4

 так как при ее наличии матричная игра имеет решение в чистых стратегиях. Видим, что седловой точки нет.

    Обозначим  искомую оптимальную стратегию  Первого игрока (х, 1-х).

    Обозначим ν_j(x) – средний выигрыш Первого в расчете на партию, когда он использует стратегию (х, 1-х), а Второй игрок – j-ю чистую стратегию. Имеем  

ν₁(x) = -1х - 5(1-х) = 4х - 5

ν₂(x) = -2х+3(1-х) = -5х+3

ν₃(x) = -2х+4(1-х) = -6х+4

ν₄(x) = 3х - 2(1-х) = 5х-2.

    Построим  графики этих функций. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Находим нижнюю огибающую семейства четырех  прямых над отрезком [0; 1]

    Это ломаная АВС. Отыщем ее высшую точку. Это точка В. Она и дает решение  игры. Ее координаты определяются решением уравнения ν₂(x) = ν₄(x), т.е. -5х+3 = 5х – 2, откуда х* = 1/2, ν = ν₂(x*) = ν₄(x*) = 1/2.

    Таким образом, оптимальная стратегия  Первого игрока есть Р* = (1/2; 1/2), а цена игры ν = 1/2.

    При этой стратегии Первого игрока Второй не выбирает первый и третий столбцы. Обозначим вероятность выбора Вторым игроком второго столбца через у, а четвертого столбца  - через (1-у). Учтем, что, например, р₁* = х*>0 и воспользуемся утверждением о том, что если р_к*>0, то М(k, Q*) = ν. Получим М(1, у*) = ν, то есть -2у*+3(1-у*) = ν = 1/2,

    -5у*+3 = 1/2

    откуда  у* = 1/2.

    Таким образом, оптимальная стратегия  Второго игрока есть Q* = (1/2; 1/2).

    Найдем  дисперсию выигрыша Первого игрока при оптимальных стратегиях, а  затем из нее выразим риск игры при оптимальных стратегиях.

    D* = - ν²

    D* = 4*1/2*1/2+9*1/2*1/2+9*1/2*1/2+4*1/2*1/2 – 1/4 = 26/4 – 1/4 = 25/4

    r = = = 5/2.

    Если  Первый играет с оптимальной стратегией Р*, а Второй отвечает j-той чистой стратегией и при этом q_j* > 0, то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по прежнему равен цене игры ν, а дисперсия выигрыша Первого при этом равна  D_j = - ν²

    Если  Первый игрок играет с стратегией Р*, а второй отвечает второй чистой стратегией, то дисперсия в этом случае находится по формуле:

    D₂ = 4*1/2+9*1/2 – 1/4 = 25/4, откуда r₂ = = 5/2.

    Аналогично  находим риск игры, когда Второй оптимальной стратегии Первого  игрока отвечает  четвертой чистой стратегией:

    D₄ = 9*1/2+4*1/2– 1/4 = 25/4, откуда r₄ = = 5/2.

    Зависимость риска Первого в малой окрестности  его оптимальной стратегии показана на рисунке 1. 
 
 
 
 
 
 

    Как видно из рисунка 1 при отходе Первого  от своей оптимальной стратегии  вправо, т.е. при увеличении вероятности выбора им первой строки, Второй начинает отвечать ему второй чистой стратегией, но при этом риск первого не изменяется и остается равным 5/2. При отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй переходит на четвертую чистую стратегию, но при этом риск игры также остается равным 5/2.

    Аналогично  находим риски для второго  игрока

    D₁ = 4*1/2+9*1/2 – 1/4 = 25/4, откуда r₁ = = 5/2.

    D₂ = 9*1/2 +4*1/2– 1/4 = 25/4, откуда r₂ = = 5/2.

    Зависимость риска Второго в малой окрестности  его оптимальной стратегии показана на рисунке 2 
 
 
 
 
 
 

    Как видно из рисунка 2 при отходе Второго от свой оптимальной стратегии вправо, т.е. при увеличении вероятности выбора им второго столбца, Первый начинает отвечать ему второй чистой стратегией, но при этом риск Второго остается равным 5/2. При отходе второго от своей оптимальной стратегии влево Первый переходит на первую чистую стратегию, но риск второго также не изменяется и остается равным 5/2.

    Так как риски при всех стратегиях игроков равны, то они могут играть:

• либо по оптимальным стратегиям,
• либо Первый по оптимальной стратегии, а Второй  – по чистым стратегиям,
• либо Первый по чистым стратегиям, а Второй - по оптимальной.

 

    АНАЛИЗ  ДОХОДНОСТИ И РИСКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ 

    Рассмотрим  финансовую операцию, доход которой  есть случайная величина Q. Средний ожидаемых доход находим по формуле , где р_i есть вероятность получить доход q_i. А риск операции найдем по формуле

    r = , где D[Q] = M[Q²] - .

    Рассотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдем средние ожидаемые доходы и риски r_i  операций.

    Ряды  распределения, средние ожидаемые  доходы и риски:

      

    Q1:       

     = 0*1/2+8*1/8+16*1/8+20*1/4 = 8

    r1 =

    M[Q1²] = 0*1/2+64*1/8+256*1/8+400*1/4 = 140

    r1 =  

      

    Q2:   
 

     =2*1/2+12*1/8+18*1/8+22*1/4 = 10,25

    M[Q2²] = 4*1/2+144*1/8+324*1/8+484*1/4 = 181,5

    r2 =

      

    Q3: 
 

     =0*1/4+4*1/4+10*1/4+14*1/4 = 7

    M[Q3²] = 0*1/4+16*1/4+100*1/4+196*1/4 = 78

    r3 =  

      
 

    Q4: 
 

     =2*1/4+6*1/4+12*1/4+20*1/4 = 10

    M[Q4²] = 4*1/4+36*1/4+144*1/4+400*1/4 = 146

    r4 =  

    Нанесем средние ожидаемые доходы и риски r на плоскость.

    Получили четыре точки. Чем правее точка, тем более доходная операция, чем выше точка – тем более она рискованная. Поэтому необходимо выбирать точку правее и ниже. В нашем примере 4-я точка доминирует над 1-й. Но 1-я и 3-я, 1-я и 2-я, 3-я и 2-я, 3-я и 4-я операции несравнимы: там где доходность больше, больше и риск. 

    Рисунок 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В данном случае точками, не доминируемыми никакими другими, то есть оптимальными по Парето являются 2-я, 3-я и 4-я.

    Для нахождения лучшей операции применим взвешивающую формулу 

                    φ(Q) = 2Q – r