Приложение ОДУ к решению задач о переносе тепла и массы

Министерство  науки и образования Российской Федерации

ФГБОУ  ВПО                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               Ивановский государственный химико-технологический университет

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: « Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ»

Тема: «Приложение ОДУ  к решению задач о переносе тепла и массы»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                  Выполнил: ст. гр. 2/35    Е.Е. Соколов                                                                          

                                                                 Проверил: ст. преп.   С.В. Кулакова            

 

Иваново  2012

Условие задачи:

7.2. Начальная температура турбины T0=C равна температуре окружающего воздуха. В процессе запуска турбина поглощает теплоту в соответствии с заданной функцией времени f(t), которая представлена табличной зависимостью вида:

f(t)	0	1,5	2,5	4	7,5	5	3,8	2
t	0	1	3	4	5	6	7	8

И определяется работой автомата подачи топлива  в процессе запуска. В то же время  корпус турбины отдаёт теплоту окружающему  воздуху ( скорость охлаждения пропорциональна разности температур корпуса турбины и наружного воздуха, к = 0,15).

Найти зависимость  температуры корпуса турбины  от времени, отсчитываемого от начала запуска. Для сглаживания f(t) использовать метод средних. Дифференциальное уравнение решить методом прогноза и коррекции Милна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение математической модели

Составим  дифференциальное уравнение, описывающее  скорость изменения температуры  тела:

,

Где f(t) – функция, описывающая поглощение тепла турбиной

Tc – температура окружающего воздуха

T – Температура турбины

K – Коэффициент теплопроводности

Принимая  температуру окружающего воздуху  равной нулю и подставляя все известные данные, получим:

dT/dt = f(t) – 0.15*T

Функцию f(t) найдем методом средних.

Метод средних

 

Аналогично поступают  для нахождения большего числа переменных

 

 

t	T	t^2	t^3	t^4
0	0	0	0	0
1	1,5	1	1	1
3	2,5	9	27	81
4	4	16	64	256
5	7,5	25	125	625
6	5	36	216	1296
7	3,8	49	343	2401
8	2	64	512	4096

 

Получим аппроксимированное уравнение 1-ого порядка:

Разделим  значения на две группы по 4 значения:

= 0 + 1 + 3 + 4 =8

 

 

 

= 5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

 

 

= 0 + 1.5 + 2.5 + 4 = 8

 

 

 

= 7.5 + 5 + 3.8 + 2 = 18.3

 

 

 

Решим систему линейных уравнений:

Функция 1-ого  порядка примет следующий вид:

Рассмотрим  график, построенный по заданным точкам, и график аппроксимированного уравнения 1-ого порядка:

Получим аппроксимированное уравнение 2-ого порядка:

 

Функция 2-ого порядка примет следующий вид:

 

Рассмотрим  график, построенный по заданным точкам, и график аппроксимированного уравнения  2-ого порядка:

Получим аппроксимированное уравнение 3-ого порядка:

Функция 3-ого  порядка примет следующий вид:

 

Рассмотрим  график, построенный по заданным точкам, и график аппроксимированного уравнения 3-ого порядка:

Получим аппроксимированное уравнение 4-ого порядка:

Функция 4-ого  порядка примет следующий вид:

 

 

Рассмотрим  график, построенный по заданным точкам, и график аппроксимированного уравнения 4-ого порядка:

 

По положению  точек аппроксимирующей функции  можно заметить, что точки функции 3-го и 4-го порядка наиболее приближены к точкам, построенным по заданным значениям. Но так как функция 3-го порядка проще, то примем за f(t) ее.

 

Подставляя f(t), получим готовое дифференциальное уравнение:

dT/dt = -0.132*t³ + 1.392*t² – 2.746*t + 1.494 – 0.15*T

Аналитическое решение

dT/dt = -0.132*t³ + 1.392*t² – 2.746*t + 1.494 – 0.15*T

- это линейное  дифференциальное уравнение 1-го  порядка.

Будем решать то уравнение заменой T=U*v. Тогда T' = U’v + v’U. Получим:

U’v + v’U + 0,15Uv = -0.132*t³ + 1.392*t² – 2.746*t + 1.494

U’v + U(v’ + 0,15v) = -0.132*t³ + 1.392*t² – 2.746*t + 1.494

Приравняем  выраение в скобках к нулю:

v’ + 0,15v = 0

dv/v = -0,15 dt

ln v = -0,15t

v = e^-0,15t

Подставим  его в первоначальное уравнение:

U’e ^-0,15t = -0.132*t³ + 1.392*t² – 2.746*t + 1.494

Подставим U и v в выражение для T:

Метод прогноза и коррекции Милна

Расчетная часть

Возьмем шаг  h = 0.1 и определим, первые 4 значения методом Рунге – Кутта 4 порядка:

Получаем T1 = 0; T2 = 0.135082449; T3 = 0.243619431; T4 = 0.328651368.

 

Выполним два шага вручную  методом Милна:

Для расчета T’ , опишем функцию F:

 

 

Примем за х - время.

x = 0.4;  h = 0.1

Примем y за температуру:

y1 = 0

y2 = 0.135082449

y3 = 0.243619431

y4 = 0.328651368.

Найдем первое приближение y51:

Найдем второе приближение y52:

 

 

Это значение будет истинным значением y5.

 

 

 x := 0.5

Найдем первое приближение y61:

Найдем второе приближение y62:

Это значение и будет истинным значением  y6.

 

 

Расчет в Excel.

Милна
tn	Tn2	T'(t)2	Tn	T'(t)	T точное	E
0	0	1,494		1,494	0	0
0,1	0,135082449	1,212925633		1,233188	0,135052425	3,00237E-05
0,2	0,243619431	0,962881085		0,999424	0,243559334	6,00967E-05
0,3	0,328651368	0,742618295		0,791916	0,32856115	9,02184E-05
0,4	0,393094835	0,550907865	0,393094236	0,550907865	0,392974422	0,000120413
0,5	0,439744308	0,386538441	0,43974373	0,386538441	0,439593667	0,000150641
0,6	0,471274122	0,248316973	0,471273511	0,248316973	0,471093191	0,000180931
0,7	0,490240121	0,13506807	0,490239533	0,13506807	0,490028871	0,00021125
0,8	0,499081558	0,045633854	0,499080975	0,045633854	0,498839928	0,00024163
0,9	0,500122694	-0,02112632	0,500122119	-0,02112632	0,499850656	0,000272037
1	0,495574641	-0,06633611	0,495574075	-0,06633611	0,495272136	0,000302504
1,1	0,48753692	-0,09110245	0,487536362	-0,09110245	0,487203922	0,000332997
1,2	0,47799925	-0,09651581	0,477998701	-0,09651581	0,477635701	0,000363549
1,3	0,468843051	-0,08365038	0,46884251	-0,08365038	0,468448926	0,000394125
1,4	0,461843193	-0,0535644	0,46184266	-0,0535644	0,461418434	0,000424759
1,5	0,458669441	-0,00730034	0,458668916	-0,00730034	0,458214026	0,000455415
1,6	0,460888163	0,054114853	0,460887646	0,054114853	0,460402034	0,000486129
1,7	0,469963728	0,129669517	0,469963218	0,129669517	0,469446864	0,000516864
1,8	0,487260162	0,218367051	0,48725966	0,218367051	0,486712508	0,000547654
1,9	0,514042508	0,319225698	0,514042013	0,319225698	0,513464043	0,000578465
2	0,551478434	0,431278308	0,551477947	0,431278308	0,550869103	0,000609331
2,1	0,600639544	0,55357214	0,600639064	0,55357214	0,599999328	0,000640216
2,2	0,66250295	0,685168628	0,662502478	0,685168628	0,661831796	0,000671154
2,3	0,737952539	0,825143189	0,737952072	0,825143189	0,737250428	0,00070211
2,4	0,827780496	0,972584994	0,827780038	0,972584994	0,827047377	0,00073312
2,5	0,932688537	1,126596787	0,932688085	1,126596787	0,931924392	0,000764145
2,6	1,05328939	1,286294658	1,053288945	1,286294658	1,052494167	0,000795223
2,7	1,19010798	1,450807869	1,190107541	1,450807869	1,189281664	0,000826316
2,8	1,343582882	1,619278632	1,34358245	1,619278632	1,342725421	0,000857461
2,9	1,514067458	1,790861945	1,514067032	1,790861945	1,513178839	0,000888619
3	1,701831275	1,964725372	1,701830856	1,964725372	1,700911446	0,000919828
3,1	1,907061202	2,140048882	1,907060788	2,140048882	1,906110151	0,000951051
3,2	2,129862793	2,316024642	2,129862386	2,316024642	2,12888047	0,000982322
3,3	2,370261346	2,491856858	2,370260944	2,491856858	2,369247739	0,001013606
3,4	2,628203248	2,666761572	2,628202853	2,666761572	2,627158309	0,001044939
3,5	2,903557001	2,839966508	2,903556611	2,839966508	2,902480718	0,001076283
3,6	3,19611453	3,010710878	3,196114148	3,010710878	3,195006856	0,001107675
3,7	3,505592176	3,17824523	3,505591798	3,17824523	3,5044531	0,001139076
3,8	3,831631966	3,341831261	3,831631594	3,341831261	3,83046144	0,001170526
3,9	4,173802574	3,500741669	4,173802207	3,500741669	4,17260059	0,001201984
4	4,531600563	3,65425997	4,531600202	3,65425997	4,530367074	0,001233489
4,1	4,904451304	3,801680358	4,904450948	3,801680358	4,903186303	0,001265001
4,2	5,291710193	3,942307523	5,291709844	3,942307523	5,290413633	0,001296561
4,3	5,692663536	4,075456521	5,692663191	4,075456521	5,69133541	0,001328126
4,4	6,106529733	4,200452591	6,106529394	4,200452591	6,105169995	0,001359738
4,5	6,532460134	4,31663103	6,532459798	4,31663103	6,531068778	0,001391355
4,6	6,969540191	4,423337021	6,969539862	4,423337021	6,968117173	0,001423018
4,7	7,416790288	4,519925506	7,416789962	4,519925506	7,415335602	0,001454685
4,8	7,87316686	4,605761019	7,87316654	4,605761019	7,871680462	0,001486398
4,9	8,337563193	4,680217568	8,337562877	4,680217568	8,336045079	0,001518113
5	8,808810519	4,742678469	8,808810208	4,742678469	8,807260645	0,001549874
5,1	9,285678782	4,792536229	9,285678475	4,792536229	9,284097145	0,001581637
5,2	9,766877711	4,829192388	9,76687741	4,829192388	9,765264268	0,001613443
5,3	10,25105755	4,852057411	10,25105726	4,852057411	10,2494123	0,001645252
5,4	10,73681013	4,860550524	10,73680984	4,860550524	10,73513303	0,001677104
5,5	11,22266953	4,854099614	11,22266924	4,854099614	11,22096057	0,001708957
5,6	11,70711313	4,832141073	11,70711285	4,832141073	11,70537228	0,001740853
5,7	12,18856231	4,794119695	12,18856203	4,794119695	12,18678956	0,001772749
5,8	12,66538341	4,73948853	12,66538314	4,73948853	12,66357872	0,001804688
5,9	13,1358884	4,667708781	13,13588813	4,667708781	13,13405177	0,001836626
6	13,59833585	4,578249662	13,59833559	4,578249662	13,59646725	0,001868606
6,1	14,05093159	4,470588301	14,05093133	4,470588301	14,04903101	0,001900584
6,2	14,4918296	4,344209598	14,49182934	4,344209598	14,489897	0,001932605
6,3	14,91913268	4,198606136	14,91913243	4,198606136	14,91716806	0,001964622
6,4	15,33089334	4,033278036	15,33089309	4,033278036	15,32889666	0,001996682
6,5	15,72511439	3,847732879	15,72511414	3,847732879	15,72308565	0,002028738
6,6	16,09974985	3,64148556	16,0997496	3,64148556	16,09768901	0,002060835
6,7	16,4527055	3,414058211	16,45270526	3,414058211	16,45061257	0,002092928
6,8	16,7818398	3,164980066	16,78183956	3,164980066	16,77971473	0,002125062
6,9	17,08496436	2,893787381	17,08496413	2,893787381	17,08280717	0,002157191
7	17,35984489	2,600023301	17,35984466	2,600023301	17,35765553	0,00218936
7,1	17,60420164	2,283237788	17,60420141	2,283237788	17,60198012	0,002221524
7,2	17,81571029	1,94298749	17,81571007	1,94298749	17,81345656	0,002253729
7,3	17,99200242	1,57883567	17,9920022	1,57883567	17,9897165	0,002285926
7,4	18,13066636	1,190352078	18,13066615	1,190352078	18,1283482	0,002318164
7,5	18,22924765	0,777112884	18,22924744	0,777112884	18,22689726	0,002350395
7,6	18,28524984	0,338700556	18,28524963	0,338700556	18,28286717	0,002382666
7,7	18,29613495	-0,12529621	18,29613474	-0,12529621	18,29372002	0,002414928
7,8	18,25932427	-0,61528261	18,25932407	-0,61528261	18,25687704	0,00244723
7,9	18,1721988	-1,13165779	18,1721986	-1,13165779	18,16971928	0,002479524
8	18,03209998	-1,67481497	18,03209979	-1,67481497	18,02958813	0,002511857
8,1	17,83633016	-2,24514149	17,83632996	-2,24514149	17,83378598	0,002544181
8,2	17,58215332	-2,84301897	17,58215313	-2,84301897	17,57957678	0,002576544
8,3	17,26679547	-3,46882329	17,26679528	-3,46882329	17,26418658	0,002608896
8,4	16,88744542	-4,12292479	16,88744524	-4,12292479	16,88480413	0,002641288
8,5	16,44125512	-4,80568824	16,44125493	-4,80568824	16,43858145	0,00267367
8,6	15,9253404	-5,51747303	15,92534022	-5,51747303	15,92263431	0,00270609
8,7	15,33678133	-6,25863317	15,33678115	-6,25863317	15,33404283	0,002738498
8,8	14,67262296	-7,02951742	14,67262278	-7,02951742	14,66985201	0,002770946
8,9	13,92987559	-7,83046931	13,92987542	-7,83046931	13,92707221	0,002803381
9	13,10551556	-8,66182731	13,10551539	-8,66182731	13,1026797	0,002835855
9,1	12,19648548	-9,5239248	12,19648531	-9,5239248	12,19361717	0,002868316
9,2	11,199695	-10,4170902	11,19969484	-10,4170902	11,19679419	0,002900815
9,3	10,11202105	-11,3416471	10,11202089	-11,3416471	10,10908775	0,002933302
9,4	8,930308567	-12,2979143	8,930308407	-12,2979143	8,92734274	0,002965826
9,5	7,651370728	-13,2862056	7,65137057	-13,2862056	7,648372391	0,002998337
9,6	6,271989666	-14,3068304	6,271989511	-14,3068304	6,26895878	0,003030886
9,7	4,788916702	-15,3600935	4,788916548	-15,3600935	4,785853282	0,00306342
9,8	3,198873023	-16,4462949	3,198872872	-16,4462949	3,19577703	0,003095993
9,9	1,498549913	-17,5657305	1,498549764	-17,5657305	1,495421363	0,00312855
10	-0,315390583	-18,7186914	-0,31539073	-18,7186914	-0,31855173	0,003161145

Блок – схема.

x0 – Начальное значение времени t;

h  - шаг изменения времени;

y1, y2, y3, y4 – первые 4 значения температуры T.

F – Функция y’=f(x,y)

 

 

Программа на языке Pascal.

program p1;

var

y:array[0..1000] of real;

i,h,k1,k2,k3:real;

l:integer;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=-0.132*x*x*x+1.392*x*x-2.746*x+1.494-0.15*y;

end;

begin

writeln('Vvedite x0, h');

readln(i,h);

i:=i+h*4;

writeln('Vvedite y1,y2,y3,y4');

readln(y[0],y[1],y[2],y[3]);

l:=4;

repeat

y[l]:=y[l-4]+4*h/3*(2*f(i-3*h,y[l-3])-f(i-2*h,y[l-2])+2*f(i-h,y[l-1])); // находим первое приближение

y[l]:=y[l-2]+h/3*(f(i-2*h,y[l-2])+4*f(i-h,y[l-1])+f(i,y[l])); // находим второе приближение

writeln(i,' ',y[l]); // вывод найденной температуры

i:=i+h; // переходим к следующему моменту времени

l:=l+1;

until i>=10;

end.

Результаты программы.

 

С шагом h = 1, и начальными значениями:

y1 = 0

y2 = 0.495464594

y3 = 0.551304821

y4 = 1.701603954,

полученными методом Рунге – Кутта 4-ого  порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ данных.

Сравним полученные значения с точными:

 

 

Из графика видно, что расхождение незначительно. Невооруженным глазом и вовсе невидно расхождения, и графики накладываются друг на друга.

Из полученных данных максимальная погрешность равна E = 0,003161145. Для того, чтобы добиться более точных результатов, надо уменьшить шаг, так как погрешность снижается с уменьшением шага и с увеличением числа итераций.

 

 

Выводы.

Описал процесс теплообмена  между турбиной и окружающей средой, нашел численное и аналитическое  решение поставленной задачи, для  численного метода использовал метод  прогноза и коррекции Милна 4-го порядка, подобрал для метода оптимальный шаг.

 

 

 

 

 

Литература.

1. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. – 5 изд., перераб. и доп. –

М.: Высшая школа, 1990. – 807 стр.

 

2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов , А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М.: Высшая школа, 2000, - 190 стр.

 

3. Вержбицкий В.М. Основы численных методов : учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2005, - 840 стр.

 

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 416 стр.