Приложения определенного интеграла

Практическая  работа «Приложения определенного интеграла»

Цель: проверить и закрепить навык применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

Оборудование: канцелярские принадлежности, методическая разработка практической работы, таблица интегралов элементарных функций, конспекты лекций.

Порядок работы:

1. Изучить тему и цель работы.
2. Повторить краткий теоретический материал.
3. Вычислить  интегралы (сам.работа)
4. Внимательно прочитать задание и выполнить практическую работу.
5. Ответить на вопросы для самоконтроля.

Самостоятельная работа.

а)

а)

а)

а)

а)

Теоретический материал.

С помощью интеграла можно  найти перемещение прямолинейно движущегося тела, площади фигур ,объемы тел, работу переменной силы и многие другие величины.

Рассмотрим теперь фигуру, ограниченную графиком непрерывной  неотрицательной функции, прямыми x=a, x=b и осью х. Эта фигура называется криволинейной трапецией и её площадь равна:                                      

- криволинейная трапеция.                       

Для вычисления площади обычно используют формулу Ньютона-Лейбница: 

 S=

      Где   – одна из первообразных функции  на отрезке .

 

1. Если фигура, расположенная под осью Ox, является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по формуле 
2. Если функция непрерывна на некотором отрезке и принимает на нем как положительные, так и отрицательные значения, то при вычислении площади криволинейной трапеции необходимо разбить отрезок на части, в каждой из которых функция не меняет знак (либо +, либо -). Затем,   по приведенной выше формуле,  вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.
3. Если на отрезке   некоторая непрерывная функция   больше либо равна некоторой непрерывной функции  , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: 

 

 

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  ,  ,  ,  .

1. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение   задает ось  ):
2. Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь.
3. На отрезке    график функции   расположен над осью  , поэтому:

5. Ответ: 

 

 

 

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  ,   и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж. Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью  , то её площадь можно найти по формуле:   

В данном случае:  

Ответ: 

 

 

 

 

 

Пример 3.    Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  ,  .

Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах  на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы   и прямой  . 

Рациональнее  сначала построить  прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: 

В рассматриваемом  примере очевидно, что на отрезке   парабола располагается выше прямой, а поэтому из   необходимо вычесть  .

Завершение  решения может выглядеть так: искомая фигура ограничена параболой   сверху и прямой   снизу.

На отрезке    , по соответствующей формуле: 

Ответ: 

Задания для практической работы.

Вычислить площадь криволинейной  трапеции:

Вариант 1.

Вариант 2

Вариант 3.

1. , x=1

Вариант 4.

Вариант 5. 

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называют неопределенным интегралом?
2. Что называют определенным интегралом?
3. Что называют криволинейной трапецией?
4. Как вычислить площадь криволинейной трапеции?