Применение интерполяции для решения уравнений

 

Бжигакова Дарина

АИ-51

 

Применение интерполяции для решения уравнений.

 

Понятие интерполяция, интерполирование – это о ценка значения неизвестной величины, находящейся между двумя точками ряда известных величин; способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений в вычислительной математике.

 

По сути, интерполяциянаправлена на то, чтобы узнать, какое значение может иметь  функция в точке, отличной заданных в условии.

 

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

 

Интерполяция часто выполняется по некоторой скрытой, но подразумеваемой зависимости. Например, если узловые точки функции соединить отрезками прямых, то будем иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической. Особое значение имеет многоинтервальная сплайн-интерполяция, области применения которой уже сейчас весьма обширны и непрерывно расширяются. Интерполяция рядом Фурье (набором синусоидальных функций) также достаточно хорошо известна; она эффективна при интерполяции периодических функций.

 

В целом же выделяются следующие методы использования интерполяции для решения уравнений:

1. Параболический
2. Каноническим полиномом
3. Полиномом Лагранжа
4. Полиномом Ньютона и др

 

Рассмотрим, например, метод решения задачи полиномом Лагранжа.

 

Пусть задана функция . 


 

Пусть заданы точки из некоторой области .


 

Пусть значения функции известны только в этих точках.
Точки называют узлами интерполяции.


- шаг интерполяционной сетки.


 

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций,  что

Представим интерполяционную функцию в виде полинома
 


 

где - полиномы степели n вида:


 




 

Отсюда принимает значение 1 в точке и 0 в остальных узлах интерполяции. Следовательно в точке исходный полином принимает значение 
Таким образом, построенный полином является интерполяционным полиномом для функции на сетке .

 

Стоит отметить, что интерполяционный полином в форме Лагранжа не удобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.