Применение производной к исследованию функции

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательно

учреждение  высшего профессионального образования

«Курганский Государственный Университет»

(КГУ)

 

 

 

 

 

 

Реферат по математике на тему:

«Применение производной к исследованию функции».

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Бородина Маргарита

105гр.

 

 

 

Курган 2013г.

Содержание:

1. Исследование функции на монотонность.
2. Исследование функции на экстремум с помощью производной 1-ого порядка. Теорема Ферма.
3. Исследование функции на экстремум с помощью производной 2-ого порядка.
4. Исследование графика функции на промежутке выпуклости и вогнутости функций и точки перегиба.
5. Нахождение наименьшего/наибольшего значения функции на отрезке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Исследование функции на монотонность.

Определение 1: Функции   называется возрастающей [убывающей] на множестве  , если для любых значений аргумента   из   выполняется условие    .

Определение 2: Промежутки области определения, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности функции.

Определение 3: Функция   называется возрастающей [убывающей], если для любых значений аргумента   из   выполняется условие    .

Определение 4: Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

• Свойство 1. Пусть функция   возрастает (убывает) на множестве   и С – любое число. Тогда функция  , также возрастает (убывает) на множестве  .
• Свойство 2. Пусть функция   возрастает (убывает) на множестве   и C > 0. Тогда функция  , также возрастает (убывает) на множестве  .
• Свойство 3. Пусть функция   возрастает (убывает) на множестве   и C < 0. Тогда функция  , убывает (возрастает) на множестве  .
• Свойство 4. Пусть функция   возрастает (убывает) и знакопостоянна на множестве  . Тогда функция  , убывает (возрастает) на множестве  .
• Свойство 5. Сумма возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).
• Свойство 6. Произведение возрастающих (убывающих) неотрицательных функций есть функция возрастающая (убывающая).

Теорема 1. Если функция   возрастает на множестве  , а функция  убывает на множестве  , то уравнение   имеет на   не более одного корня.

Теорема 2. Если функция   монотонна на множестве  , а функция  постоянна на множестве  , то уравнение   имеет на   не более одного корня.

 

2. Исследование функции на экстремум с помощью производной 1-ого порядка. Теорема Ферма.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся  внутри этого отрезка. Нельзя также  путать максимум и минимум функции  с ее наибольшим и наименьшим значением  на отрезке – это понятия принципиально  различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то  производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

, т.е.

         

 Тогда

 
По определению:

 

Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x₁) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x₁) £ 0. 

А возможно это только в том случае, если при Dх®0  f¢(x₁) = 0. 

 

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично. 

 

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция  у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

 

3. Исследование функции на экстремум с помощью производной 2-ого порядка.

Пусть в точке х = х1 f’(x1) = 0 и f”(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если F’(X1) = 0, то функция F(X) в точке х = х1 имеет максимум, если F”(X1)<0 и минимум, еслиF”(X1)>0.

Доказательство.

Пусть f’(x1) = 0 и f”(x1)<0. Т. к. функция f(x) непрерывна, то f”(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1.

Т. к. f”(x) = (f’(x))’ < 0, то f’(x) убывает на отрезке, содержащем точку х1, но f’(x1)=0, т. е. f’(x) > 0 при х<x1 и f’(x) < 0 при x>x1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f’(x) меняет знак с “+” на “-“, т. е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема  доказывается аналогично.

Если f”(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

4. Исследование графика функции на промежутке выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f” (x) ≥ 0( f” (x) ≤ 0) во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута. Угловая точка не является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f”(a) = 0 или f” (a) не существует и при переходе через точку  
х = а f”(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 

5. Нахождение наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].  Поставим задачу об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции f (x) на отрезке [a,b].

Наибольшее значение функции f (x) может достигаться либо внутри интервала (a,b), либо на одном из концов отрезка [a,b]. Заметим, что если наибольшее значение f(x) достигается в некоторой точке внутри интервала (a,b), то эта точка совпадает с одним из локальных максимумов функции f (x) . 
Итак, для нахождения наибольшего значения функции f (x) на отрезке [a,b] следует сравнить между собой значения функции f (x) во всех точках локального максимума и в граничных точках а и b данного отрезка. Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции f (x) на отрезке [a,b]. 
Наименьшее значение функции f (x) на отрезке [a,b] находится аналогичным образом.

Замечание. Наибольшее и наименьшее значения функции f (x) на отрезке [a,b] можно найти без нахождения локальных экстремумов данной функции. Достаточно лишь сравнить между собой значения функции f (x) во всех точках возможного экстремума и в граничных точках а и b данного отрезка. 
Таким образом, мы получаем следующей алгоритм нахождения  наибольшего и наименьшего значений функции f (x) на отрезке [a,b]: 
1) найти стационарные точки функции f (x) на отрезке [a,b]; 
2) вычислить значения функции f (x) в найденных стационарных точках; 
3) вычислить значения функции f (x) в граничных точках а и b отрезка [a,b]; 
4) среди всех вычисленных значений функции f (x) выбрать наибольшее и наименьшее.