Применение производной в экономике

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………… … .3

Глава 1. Основные определения производной……………….…………………4

1.1. Геометрический смысл производной……………….…………..….……….4

1.2.Экономический смысл  производной……………………..………………….6

Глава 2. Применение производной в экономике……………………………… .8

Глава 3. Примеры экономических задач с использованием производной… . 14

Заключение…………………………………………..……………………….…..19

Список использованных источников………...…………………........................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Математика является не только средством количественного расчета, но также методом точного исследования и служит средством ясной  и четкой формулировки экономических проблем и  понятий. Целью данной работы является выяснить, что такое производная с экономической точки зрения, какие новые возможности открывает дифференциальное исчисление для экономических исследований, а также исследовать применение производной при решении различных видов  производственных задач по экономической теории. Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В данной работе попытаемся доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес вызвали такие разделы, как:

• Исследование производственных функций в экономике, а именно различные производственные задачи.

• Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

Производная – одно из главных понятий математики, физики и экономики. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.

Исследование поведения  различных систем часто не обходится  без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как максимальная прибыль, максимальный выпуск, предельная производительность труда, минимальные и максимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одной или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной

 

ГЛАВА 1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть определена на некотором промежутке. Придадим значению аргумента x₀ex произвольное приращение ∆x так, чтобы точка x₀+∆x также принадлежала X. Тогда получим приращение                             

  ∆y =(x₀+∆x) – (x₀)                                                                               

Производной функции  в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆x→0 . Производная функции в точке х₀ обозначается y'(х₀) или         f '(х₀). Определение производной можно записать в виде формулы:

  при условии,  что этот предел существует. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f `(x) также является функцией от аргумента x, определённая на X. Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, что она дифференцируема на всём этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

1.1.Геометрический смысл производной

Геометрический смысл  производной состоит в том, что f `(x₀) является тангенсом угла наклона или по-другому угловым коэффициентом. Пусть на кривой y=f(x) зафиксирована точка М₀(X₀;Y₀), где y₀=f(x₀). Придадим аргументу приращение ∆x, т.е перейдём от значения x=x₀ к значению x₀+∆x. Получим на кривой точку M(x₀+∆x, y₀+∆y)

Касательной к графику  функции y=f(x) в точке M₀ называется предельное положение секущей M₀M при стремлении точки M к точке M₀ по кривой y=f(x). Из ∆M₀MA имеем:

                                            

Пусть ∆x→0. Тогда точка  М будет перемещаться вдоль кривой и в пределе совпадает с точкой M₀. При этом . Производная f `(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику y=f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)). Найдём уравнение касательной к графику в точке M₀ (x₀; f(x₀)) в виде y=kx+b. Должно выполняться равенство f(x₀)=kx₀+b, откуда b= f(x₀) – kx₀. Следовательно, касательная задаётся уравнением  y=kx+f(x₀) – kx₀=f(x₀)+k(x – x₀). Поскольку k=f '(x₀), то уравнение касательной имеет вид y=f(x₀)+f '(x₀)(x – x₀).

Очень часто при решении  экономических задач возникает  необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т.д. При этом удобно пользоваться:

• Возрастанием и убыванием функции

Очень важную информацию о  поведении функции предоставляют  промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых x₁ÎX и x₂ÎX, x₂<x₁ выполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых x₁ÎX и x₂ÎX, x₂<x₁  выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

• Экстремумами функции

Точка x₀  называется точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции и обозначается y_max

Точка x₀  называется точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают y_min.

Под окрестностью точки  понимают интервал (x₀ – ε;x₀ + ε) , где ε - достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

• Непрерывностью функции

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a. Чаще всего разрыв возникает по двум причинам: функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы; функция не определена в данной точке.

1.2.Экономический смысл производной

В экономической теории активно  используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможным ставить и решать новый вид научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя производительность труда, средняя цена и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные величины характеризуют  не состояние (как суммарная или  средняя величины.), а процесс, изменение  экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА2.ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

Надо заметить, что экономика  не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y – издержки производства, х –количество продукции, тогда ∆x – прирост продукции, а ∆y – приращение издержек производства.

В этом случае производная   выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции, где MC – предельные издержки; TC – общие издержки ; Q – количество.

Другой пример: категория  предельной выручки — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ой к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки: при этом R=PQ,

где R – выручка ;

       P – цена.

Таким образом , ∆MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать  влияния на цену.

Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.

Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на формирование цены.

Суть ординалистского (порядкового) подхода состоит в том, что потребители, имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную полезность для конкретного потребителя.

 В соответствии с  первой, суммарную полезность U для любого субъекта, если в экономике существует n потребительских благ в объемах х₁,  x₂,… х_n, можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:

U= U(х₁, x₂,… x_n).

Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных производных:

.

Они показывают, на сколько изменяется полезность всей массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении количества блага i (i=1,2…n)

В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен сопоставить полезности наборов товаров.

Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией предельной нормы замещения (MRS).

Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.

Они определяются так:   

.

Т.к. dy отрицательно, знак  "" вводится, чтобы MRS была больше нуля.

Итак, предельная норма замещения  геометрически есть касательная  к кривой безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения  по абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой безразличия.

Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который имеет аналог и на макроуровне.

Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на потребление  C  и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Зависимость потребления  индивида от дохода называется функцией склонности к потреблению или  функцией потребления.

Использование производной  позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC, показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

  .

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS: 

.

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Еще одним примером использования  производной в экономике является анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MP_L– это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда (L) при неизменной величине капитала: