Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Мая 2013 в 19:32, курсовая работа
Під принципом Діріхле в математиці розуміють твердження, яке полягає в тому, що якщо деякі предмети розкладено в ящики, причому кількість предметів є більшою за кількість ящиків, то хоча б в одному ящику буде принаймі два предмети ( якщо ж кількість предметів є меншою за кількість ящиків, то хоча б один з ящиків буде порожнім). Подібні міркування неодноразово використовував німецький математик Петер Густав Лежен Діріхле (1805 – 1859) при вивченні наближення ірраціональних чисел раціональними. Принцип Діріхле досить ефективно використовується при розв'язуванні різних задач з теорії множин, комбінаторики, теорії графів, комбінаторної геометрії, тощо.
Задача 22. Деякий опуклий п-кутник містить коло радіуса r і містіться всередині концентричного кола радіуса R. Довести, що
Розв'язання. Розглянемо п промінів, які виходять із спільного центра даних концентричних кіл і проходять через вершини многокутника. Ці промені розбивають велике коло на п дуг. Довжина кожної з цих дуг не перевищує довжини меншої дуги великого кола, яке відтинає від більшого кола дотична, що проведена до іншого кола, тобто не перевищує
Таким чином
2R,
звідки одержується потрібна нерівність.
Зауваження. Твердження задачі буде правильний і для неконцентричних кіл.
Задача 82. Всередині опуклого -кутника можна розмістити коле радіуса 1. Довести,що відстань між деякими двома точками цього многокутника більша за
Розв'язання. Доведення проведемо методом від супротивного. Допустимо, що відстань між будь-якими двома точками даного многокутника не перевищує числа
R+1, де R=
Тоді цей многокутник міститься всередині кола з радіусом R, яке концентричне до даного кола. Дійсно, нехай О - це центр даного кола одиничного радіуса, А - довільна точка даного многокутника і В - це точка, яка лежить на перетині прямої АО з даним многокутником (В відмінна від А). Тоді за допущенням
R+1
звідки одержуємо, що АО. Значить, за задачею 81
Але
,
тому остання нерівність набуває вигляду 31 > 32, що не вірно.
Задача 83. Нехай многогранник, що має N граней, описаний навколо сфери радіуса r і міститься всередині концентричної сфери радіуса R. Довести, що N
Розв'язання. Розглянемо деяку грань многогранника. Площина, яка через цю грань відрізає від більшої сфери "шапочку" (сегментну поверхню) висотою R-r. Зрозуміло, що якщо побудувати "шапочки" для всіх граней даного многогранника, то їхнє об єднання покриє зовнішню сферу. Площа кожної ”шапочки ” дорівнює 2. Сума площ усіх "шапочок" більша, ніж площа сфери. Тому
N 2
звідки одержуємо, що
N >
Задана 84. Навколо сфери, радіус якої дорівнює 10 одиниць, описано деякий 19-гранник. Довести, що на його поверхні знайдуться дві точки, відстань між якими більша за 21 одиницю.
Розв'язання. Допустимо, що відстань між будь-якими двома точками, що лежать на поверхні 19-гранника, не перевищує 21. Тоді цей многогранник міститься всередині сфери з радіусом R, яка концентрична із сферою з радіусом 10. А тоді за попередньою вправою 19, що не вірно.
Задача 85. На колі одиничного радіуса розміщено 5 точок, причому відстань між будь-якими двома з них більша за 1. Довести, що серед цих точок знайдуться дві, відстань між якими не менша за
Розв'язання. З'єднаємо центр кола із даними точками відрізками і нехай
– це послідовні кути між сусідніми відрізками. Оскільки відстані між будь-якими двома точками більша за 1, то >144, = 1,5. Покажемо, що існую два сусідні кути та що їхня сума не менша за 144°. Доводимо цей факт від супротивного . Нехай
Додаючи ці нерівності, одержуємо, що
< 360°,
що не правильно.
Отже, нехай для визначеності
144°.
Зрозуміло, що
< 180,
Оскільки
3 + 4 + > 180°.
Розглянемо трикутник, одна з вершин якого є центром кола, дві інші вершини знаходяться на колі і однин з кутів якого є відповідним центральним кутом величиною .Нехай d - це довжина найбільшої сторони цього трикутника. Тоді за теоремою косинусів
Звідки й випливає правильність твердження задачі.
Список використаної літератури