Производная сложной функции. Примеры решений

Производная сложной функции. Примеры решений

 

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь  изложить его просто и доступно.

На практике с производной  сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти  всегда, когда Вам даны задания  на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

 

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись  . Здесь у нас две функции –   и  , причем функция  , образно говоря, вложена в функцию  . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию   я буду называть внешней функцией, а функцию   – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения  не являются теоретическими и  не должны фигурировать в чистовом  оформлении заданий. Я применяю  неформальные выражения «внешняя  функция», «внутренняя» функция  только для того, чтобы Вам  легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции 

Под синусом у нас находится  не просто буква «икс», а целое  выражение  , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:  

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что  функция   – это сложная функция, причем многочлен   является внутренней функцией (вложением), а   – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде   понятно, что под синус вложен многочлен  . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно  вычислить на калькуляторе значение выражения   при   (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие:  , поэтому многочлен   и будет внутренней функцией  : 
  
Во вторую очередь нужно будет найти  , поэтому синус – будет внешней функцией: 
 
После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции  .

Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции   (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что  . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае: 
 

Обратите внимание, что  внутренняя функция   не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что 

Результат применения формулы   в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную  внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель  обычно выносят в начало выражения: 

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение  на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пример 3

Найти производную функции 

Как всегда записываем: 

Разбираемся, где у нас  внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или  на черновике) вычислить значение выражения   при  . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:  , значит, многочлен   – и есть внутренняя функция: 
 
И, только потом выполняется возведение в степень  , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: 
 
Согласно формуле  , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:  . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Снова подчеркиваю, что когда  мы берем производную от внешней  функции  , внутренняя функция   у нас не меняется: 
 
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания  производной сложной функции  приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции 

б) Найти производную функции 

Пример 6

Найти производную функции 

Здесь у нас корень, а  для того, чтобы продифференцировать  корень, его нужно представить  в виде степени  . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых  – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования  сложной функции  :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для  производной внутренней функции  применяем простое правило дифференцирования  суммы:

Готово. Можно еще в  скобках привести выражение к  общему знаменателю и записать всё  одной дробью. Красиво, конечно, но когда  получаются громоздкие длинные производные  – лучше этого не делать (легко  запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что  иногда вместо правила дифференцирования  сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного  , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции 

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного  , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию  для дифференцирования – выносим  минус за знак производной, а косинус  поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя  функция.  
Используем наше правило  :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно  вниз:

Готово. В рассмотренном  примере важно не запутаться в  знаках. Кстати, попробуйте решить его  с помощью правила  , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали  случаи, когда у нас в сложной  функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто  можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции 

Разбираемся во вложениях  этой функции. Пробуем вычислить  выражение   с помощью подопытного значения  . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти  , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы  следует возвести в квадрат  :

И, наконец, семерку возводим в степень  : 
 
 
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу   сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение   , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

Под штрихом у нас снова  сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция  – степень. Согласно правилу дифференцирования  сложной функции сначала нужно  взять производную от степени:

Теперь все просто, находим  по таблице производную арксинуса  и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования  сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции 

Сначала используем правило  дифференцирования суммы  , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу  :

В обоих слагаемых под  штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило  :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные  функции  ,  . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно. 
А пока запишем подробно, согласно правилу  , получаем:

Готово.

! Обратите внимание  на приоритет (порядок) применения  правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции 

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с  дробью и сложной функцией, но такой  пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила   применяем правило  .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2: 

Пример 4:   Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак  .

Пример 7: 

Пример 9: 

Пример 11: 

Пример 13: 

Автор: Емелин Александр