Пуассоновский случайный процесс

Page 1

Раздел 3 Процессы с независимыми приращениями.
Приращением случайного процесса
( )t
ξ
на интервале времени
называют
случайную величину
h
(
)
(
h
t h
t)
ξ ξ
ξ
Δ =
+ −
.
Если два интервала и
не пересекаются, то есть
h g
h g = ∅
∩
и приращения процесса
h
ξ
Δ
и
g
ξ
Δ
независимы, то процесс
( )t
ξ
называют процессом с независимыми
приращениями.
()t
ξ
t
0
t
h
g
t
Поток событий.
Пусть событие А происходит в случайный момент времени . Тогда совокупность
событий
{ (
k
t
)}
k
k
A t
называется потоком событий.
Пуассоновский поток событий.
Пуассоновский поток событий определяется тремя условиями:
1. Независимость приращений, то есть числа событий на интервалах
h
и ,
соответственно
и
g
h
n
g
n
, статистически независимы, если интервалы
h
и
не
пересекаются,
h g
.
g
=∅
∩
2. Однородность: для
1
t∀
1
1
( )
(
)
( )
(
)
(
)
h
h
t
t h
t
t h t
t t
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
Δ
=
+ −
=
+ + −
+ = Δ
ξ
.
Здесь
h
ξ
Δ
- число событий потока на интервале . То есть, приращение не зависит от
сдвига
по времени.
h
1
t
3. Ординарность:
0
1
lim
{| (
)
( )| 1} 0
h
P
t h
t
h
ξ
ξ
→
+ −
> =
, то есть появление нескольких
событий в момент времени
t
невозможно.
§5. Пуассоновский процесс.
Для пуассоновского потока событий определим пуассоновский процесс
( )
t
ξ
как
число событий пуассоновского потока на интервале времени
(0
. Тогда число
событий на интервале h становится приращением процесса
, )
t
( )
t
ξ
на h.
Реализация пуассоновского процесса.
Нетрудно видеть, что реализации пуассоновского процесса
( )
x t
представляют собой
неубывающие неотрицательные целочисленные функции времени.
20

---

Page 2

5.1. Теорема о пуассоновском процессе
.
Если для случайного процесса, выборочные функции которого суть неубывающие,
неотрицательные и целочисленные функции времени, выполняется условия
независимости приращений, однородности и ординарности, то вероятность появления в
интервале времени
[0
ровно событий, равна:
, )
t
n
( )
{ ( )
}
!
n
t
t
P
t
n
e
n
λ
λ
ξ
−
=
=
, где
,
0
t
>
0
const
λ
=
>
.
Докажем достаточность условий (1)-(3).
□ 1). Обозначим
{ ( )
}
( )
n
P t
n
P t
ξ
= =
. Примем
0
(0) 1
P
=
, то есть при
событие не
появляется. Это всегда можно сделать выбором начала координат. Возьмем интервал .
Из условия (1) и (2) следует, что:
0
t
=
h
(1)
0
0
(
)
( )
(
P t h
P t P h
+ =
⋅
0
)
0
(
) ln ( ) ln ( )
P t h
P t
P h
+ =
+
Логарифмируя (1), получаем:
ln
(2)
0
0
Дифференцируем (2) по
и перейдем к пределу при
:
h
0
h
→
0
0
0
0
0
(
)
(
0
)
m
lim
(
)
( )
h
h
P t h
P h
P t h
P h
→
→
′
′
+
=
+
li
, тогда получим
0
0
0
0
( )
(0)
( )
(0)
P t
P
P t
P
′
′
=
(3)
Но
, по условию, то есть значение
в момент времени t=0 максимально
возможное. Поэтому
.
0
(0) 1
P
=
0
P
(0) 0
P
′
≤
0
(0)
P
0
1
t
Обозначим
0
(0)
P
λ
′
= −
, где
0
λ
≥
и получим из (3):
0
0
( )
( )
1
P t
P t
λ
′
−
=
, или
дифференциальное уравнение 1-го порядка:
0
0
( )
( ) 0
P t
P t
λ
′ +
=
. Решение этого уравнения
существует и единственно:
0
( )
t
P t
e
λ
−
=
,
0
λ
≥
,
t
. Случай
0
>
0
λ
=
тривиален,
поскольку при этом для
∀
t
0
( ) 1
P t
=
, то есть в любом интервале
(0
события
отсутствуют, и
, )t
( ) 0
t
ξ
≡
. Поэтому в дальнейшем будем полагать
0
λ
>
. Итак,
0
( )
t
P t
e
λ
−
=
,
0
λ
>
,
t
(4)
0
>
2). Найдем теперь
. Очевидно, что для
1
( )
P t
1
n
∀ >
справедливо:
,
Отсюда:
,
n
. В силу условия ординарности при малых
t
→0
0
1
( )
( )
( ) 1
n
P t
P t
P t
+
+
=
1
0
( ) 1
( )
( )
n
P t
P t
P t
= −
−
1
>
P t
t
= −
+
P t
(5)
1
0
0
( ) 1
( ) ( )
где
0
(t) - бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем t .
(6)
0
( )
1
( )
t
P t
e
t o t
λ
λ
−
=
= − +
Подставляя (6) в (5), получим
1
( ) 1 1
( )
P t
t o t
λ
= − + +
и
1
( )
( )
P t
t o t
λ
=
+
,
t
.
(7)
0
→
21

---

Page 3

3). Теперь найдем
.
( )
n
P t
Рассмотрим
при
. Очевидно, появление на
[
событий
возможно при
только в двух случаях:
(
n
P t h
+ )
n
0
h
→
)
t h
+
0
h
→
а) либо на
нет событий совсем
h
б) либо на есть только одно событие (в силу
и условия ординарности).
h
0
h
→
Тогда:
(8)
1
1
0
(
)
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
P t h
P t P h P t P h
−
+ =
+
Подставляя в (8) вероятности
из (4) и
из (7), получаем:
0
( )
P t
1
( )
P t
1
(
)
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
P t h
P t h P t
P t h o h
λ
λ
−
+ =
+
−
+
[
]
1
(
)
( )
(
( )
( )
n
n
n
n
P t h P t
o h
P t
P t
h
h
λ
−
)
+ −
=
−
+
Переходя к пределу при
, получим
0
h →
(9)
1
( )
[ ( )
( )] 0
n
n
n
P t
P t P t
λ
−
′
− ⋅
−
=
Ранее мы решали уравнение
0
0
( )
( ) 0
P t
P t
λ
′
+
=
, решением которого было
0
( )
t
P t
e
λ
−
=
.
Поэтому теперь попробуем искать решение уравнения (9) в виде
(10)
( )
( )
t
n
P t
e
v t
λ
−
=
⋅
n
Где ( ) -некоторая функция, которая должна удовлетворять условиям:
n
v t
0
( ) 1
(0) 0
n
v t
v
=
⎧
⎨
=
⎩
(11)
Поскольку
по условию, то
0
(0) 1
P
=
(0) 0,
1.
n
P
n
=
≥
Подставив (10) в (9), получим после преобразований:
,
1
[ ( )
( )] 0
t
n
n
e
v t
v t
λ
λ
−
−
′
⋅
− ⋅
=
откуда получаем дифференциальное уравнение относительно функции ( ) при
начальных условиях (11).
n
v t
1
( )
( ) 0
n
n
v t
v
t
λ
−
′
− ⋅
=
(12)
Решение этого дифференциального уравнения известно и единственно:
( )
( )
!
n
n
t
v t
n
λ
=
(13)
Для проверки можно (13) подставить в (12).
Итак, получаем:
( )
( )
,
0,
0
!
n
t
n
t
P t
e
t
n
λ
λ
λ
−
=
⋅
≥
>
Случай
0,
0
t
λ
=
> тривиален, поскольку для
t∀
и
, то есть отсутствуют
события на произвольном интервале [0
и процесс
1
n ≥
( ) 0
n
P t =
, )t
( )t
ξ
не существует.
22

---

Page 4

Окончательно:
( )
( )
,
0,
0
!
n
t
n
t
P t
e
t
n
λ
λ
λ
−
=
⋅
>
>
(14)
Это распределение вероятностей Пуассона (закон редких событий).
5.2. Характеристики пуассоновского процесса
1. Время появления события в пуассоновском потоке
τ
t
1
t
2
t
3
t
4
t
3
2
1
( )t
ξ
4
Начнем с времени появления первого события. Поскольку при выводе закона
распределения
*
( )
( )
( ( )
)
!
n
t
n
n
t
P t
P
t
n
e
n
λ
λ
ξ
−
=
=
=
предполагалось, что
, то есть
событие в момент
не происходит, то обозначим время появления первого события
0
(0) 1
P
=
0
t =
1
t
τ
= .
Величина τ случайна. Надо найти закон распределения вероятностей: функцию
распределения
( )
{
}
F t
P
t
τ
τ
=
<
или плотность распределения вероятностей
( )
( )
dF t
f t
dt
τ
τ
=
.
( ) 1
{
} 1
{
F t
P
t
P
τ
τ
= −
≥ = −
на отрезке [0
нет события
.
, )t
0
} 1
( )
P t
= −
Но
0
( )
,
0,
0
t
P t
e
t
λ
λ
−
=
>
≥
. Поэтому
{
, 0, 0
0,
( ) 1
,
0,
0
( ) {
t
t
e
t
t o
F t
e
t
f t
λ
τ
λ
λ
λ
τ
λ
−
−
≥
>
<
= −
>
=
≥
(15)
Это экспоненциальный закон распределения вероятностей.
2. Промежутки между событиями
1
,
1,2...
k
k
k
t t
k
τ
−
= −
=
, очевидно, также случайные
величины. Найдем их законы распределения. При
1
k =
получаем
1
1
t
τ
τ
= =
и закон (15).
Поскольку пуассоновский процесс это процесс с независимыми приращениями и его
изменения на
2
τ
не связано с его поведением на
1
τ
, то можно перенести начало координат
в точку и устранить событие в точке . Тогда промежуток
можно рассматривать
как величину
1
t
1
t
1, 2
[t t )
τ (время появления первого события) и, естественно, эта τ распределено по
тому же закону (15). Эта процедура может быть повторена для любого
k
τ
.
23

---

Page 5

Таким образом, промежутки между событиями пуассоновского потока
k
τ
распределены
по одному и тому же экспоненциальному закону распределения вероятности (15).
5.3. Время появления n-го события в пуассоновском потоке.
Рассмотрим пуассоновский процесс. Пусть события появляются в моменты времени
, промежутки между событиями
,
1,2...
k
t k =
1
0
,
0
k
k
k
t t
t
τ
−
= −
=
. Тогда
1
n
n
k
k
t
τ
=
=
∑
Функция распределения вероятностей
( )
{
} 1
{
}
n
t
n
n
F t
P t
t
P t
t
=
< = −
≥
{
n
P t
t< }
-вероятность, что на [0 произошли, по меньшей мере,
, )t
n событий,
то есть
и т.д. событий.
,
1,
n n
n
+
+ 2
}
{
n
P t
t≥ вероятность, что на [0 произошло
, )t
1,
2,..., 0
n
n
−
−
событий. Таким образом,
.
1
1
0
0
( ) 1
{ {
[0, )}} 1
( )
n
n
n
t
k
k
k
F t
P
t
t
P t
−
−
=
=
= −
∈
= −
∑
∪
k
Но
( )
( )
!
k
t
k
t
P t
k
e
λ
λ
−
=
. Таким образом,
1
0
( )
( ) 1
!
n
k
n
t
t
k
t
F t
e
k
λ
λ
−
−
=
= −
∑
(16)
Дифференцируя (16) по t, получим плотность распределения
1
1
1
0
1
( )
( )
( )
!
!
n
k
k
n
n
t
t
t
k
k
t
k
f t
e
e
k
k
λ
λ
λ
λ
λ
t
λ
−
−
−
−
−
=
=
=
⋅
−
⋅
∑
∑
Заменим во втором слагаемом индекс суммирования:
1
k
s
− =
.Тогда
1
2
0
0
( )
( )
( )
!
n
k
s
n
n
t
t
t
k
s
t
t
f t
e
e
k
λ
λ
!s
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
=
−
∑
∑
, то есть все слагаемые, кроме при
, пропадают и
1
k n
= −
1
( )
( )
,
0,
0
( 1)!
n
n
t
t
t
f t
e
n
λ
λ
λ
λ
−
−
t
= ⋅
>
−
≥
(17)
Формулы (16) и (17) представляют закон распределения вероятностей Эрланга.
Не трудно видеть, что при n=1 оно переходит в частный случай - экспоненциальное
распределение.
Распределение Эрланга относится к семейству
γ
-распределения и получается из
основного гамма-распределения ( , , )
x
γ α β
при
,
n
α
β λ
=
= .
5.4. Интенсивность пуассоновского потока
Вернемся к случайной величине
τ
– промежутку между событиями и найдем ее
математическое ожидание:
0
( )
t
t f t dt
t e dt
M
λ
τ
λ
τ
∞
∞
−
−∞
=
⋅
=
⋅
∫
∫
Вычисляя интеграл по частям, получаем
1
M
λ
τ
=
, отсюда
1
M
λ
τ
=
Таким образом, введенный ранее формальным образом параметр
λ
, получает
содержательный смысл: он представляет собой величину, обратную среднему интервалу
между событиями, то есть среднее число событий пуассоновского потока в единицу
времени, или интенсивность потока.
24

---

Page 6

Найдём среднее время ожидания n-го события
1
1
[
]
n
n
n
k
k
k
k
n
Mt
M
M
n M
τ
τ
τ
λ
=
=
=
=
= ⋅
∑
∑
=
§6. Броуновский процесс
6.1. Броуновский дискретный процесс.
Рассмотрим случайное блуждание (броуновское движение) некоторой материальной
частицы в одномерном пространстве (на числовой оси). Пусть в начальный момент
времени
точка находится в начале координат
0
t
=
0
x
=
. Затем за время
частица
смещается на
t
Δ
x
±Δ
случайным образом с вероятностью
1
. Тогда распределение
вероятностей в точках
2
, )
(
s
k
x
s x t
= ± ⋅Δ
будут выглядеть в координатах
,x t
следующим
образом (см. рис).
( , )
s
k
p x t
t
1
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
0
-s
x
-
x
s
x
x
n
t
n t
= ⋅
0
t =
1
t
t
=
2
2
t
t
= ⋅
x
Определим броуновский одномерный процесс как смещение частицы по оси
x
за время
. Очевидно,
,
[0, )t
n
t
n t
= ⋅
t const
=
,
x const
=
. Обозначим число шагов в
положительном направлении оси
x
за время
через
. Тогда, смещение частицы за
время
t
будет равно
n
t
m
n
(
)
(2
n
)
x m x n m
x
m n
ξ
= ⋅ − ⋅ −
= ⋅
−
.
Как распределена случайная величина
n
ξ
?
Очевидно, при случайном одномерном блуждании частицы реализуется вероятностная
схема Бернулли с 2-мя исходами: событие
A
– шаг в положительном направлении и
событие
A
- шаг в отрицательном направлении. Тогда
где
(1
) ,
m
m
n m
n
n
C p
p
ξ
−
⋅
⋅ −
∼
1
2
p =
.
Введем нормированную величину
*
n
n
n
M
D
n
ξ
ξ
ξ
ξ
−
=
(1)
При
n
и
→∞ p const
=
согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа
25