Рациональные числа

РАЦИОНАЛЬНЫЕ  ЧИСЛА

 

Рациональные  числа - это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и нуль.

Рациональной  дробью называется выражение вида , где целое число называется числителем дроби, а натуральное число - знаменателем дроби.

Есть версия, что название рациональных чисел связано с  латинским словом "ratio" - разум.

Примеры рациональных чисел:

Множество рациональных чисел обозначается заглавной английской буквой Q (кью).

Множество Q включает в себя множество целых чисел (Z) и натуральных  чисел (N).

Любое рациональное число можно представить в  виде дроби, у которой числитель  принадлежит целым числам, а знаменатель - натуральным. 
^a/_b, где a ∈ Z ( a принадлежит целым числам ),b∈N ( b принадлежит натуральным числам ).

Две рациональные дроби  и называются эквивалентными, если .

Пример

Дроби и эквивалентные, так как

Рациональным  числом называется множество всех эквивалентных  между собой дробей.

Сравниваются рациональные числа  следующим образом:

1. Всякое положительное рациональное число больше нуля.
2. Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.
3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Пример

, так как 

 

Арифметические операции с рациональными  числами

Сложение рациональных чисел. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.

Чтобы сложить два рациональных числа  с разными знаками, необходимо из числа с большей абсолютной величиной  вычесть число с меньшей абсолютной величиной и поставить знак числа, большего по модулю.

Пример

Вычислить

Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример

Вычислить

Умножение рациональных чисел. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители разных знаков.

Пример

Вычислить

Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.

Частное от деления двух рациональных чисел  с разными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус.

Пример

Вычислить

Возведение в степень. Степень рационального числа представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.

Пример

Вычислить ;

Четная  степень отрицательного числа положительная, нечетная степень - отрицательная.

 
Остальные свойства рациональных чисел  не входят в основные, они не опираются на свойства целых чисел, а могут быть доказаны с использованием основных свойств или по определению некоторого математического объекта. Таких свойств очень много, вот некоторые из них:  
Нумерация рациональных чисел. Счетное множество – в теории множеств такая бесконечное множество, элементы которой можно занумеруваты натуральными числами. Легко доказать, что множество рациональных чисел счетно. Для этого достаточно привести алгоритм, нумерует рациональные числа, т.е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Иллюстрация изображает один из вариантов этого алгоритма. Существуют и другие способы занумеруваты рациональные числа. Например, для этого можно использовать ряд Фаре.