Разложение функций e в степени «х»,sin x, cos x в степенной ряд. Приближённые вычисления с помощью этих рядов

Государственное казенное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

“РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ”

Ростовский филиал.

Кафедра информационных таможенных технологий и информатики.

 

 

Курсовая работа

по дисциплине “Математический анализ”

на тему “Разложение  функций e в степени «х»,sin x, cos x в степенной ряд. Приближённые вычисления с помощью этих рядов”

 

 

 

                                                                         Выполнил Беклемеш М.И., студент 1 курса

очной формы  обучения экономического факультета,

группа 1БЭ.

  Подпись:

 

Научный руководитель: Цвиль М.М.,

Кандидат физико-математических наук, доцент

Подпись:

 

                                                Ростов-на-Дону

                                                          2011

                                                           ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

1. Определение степенного  ряда. Теорема Абеля

2. Свойства степенных  рядов

3.Решение дифференциальных  уравнений с помощью степенных  рядов

4.Понятие суммы степенных  рядов

5.Разложение функций  в степенной ряд. Ряд Тейлора.  Ряд Маклорена

6.Примеры разложения  функций в ряд Маклорена

7.Примеры разложения  функций в ряд Тейлора по  степеням

8.Применение степенных  рядов

9.Список использованной  литературы

 

                 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ

 

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение: степенным рядом называется функциональный ряд вида:

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд                                                                                                        принимает вид

 

.

 

Степенной ряд  называют рядом по степеням разности , ряд     называют рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд или превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение: областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд с помощью подстановки приводится к более простому виду , поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида .

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

если степенной ряд  сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление  о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 1.2:

область сходимости степенного ряда совпадает с одним из следующих интервалов:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

 

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

 

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда .

Если  , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если  , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда , то – интервал сходимости для степенного ряда .

Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

;(1.3)

 

формула Коши:

 

.(1.4)

 

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

 

Решение

Найдем радиус сходимости данного  ряда по формуле

 

 

В нашем случае

 

, .

 

Тогда .

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид  .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

 

.

 

который расходится как гармонический  ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

 

.

 

Это – знакочередующийся  ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и  . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

 

                                     СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.

 

Степенной ряд  представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

 

.

 

Приведем несколько свойств  функции  .

 

Свойство 1. Функция  является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция  дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда , т. е.

 

,

 

для всех .

 

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда , т. е.

 

 

для всех .

 

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.

Приведенные свойства справедливы  также и для степенных рядов .

Пример 2.1. Рассмотрим степенной  ряд

 

.

 

Область сходимости этого ряда, как  показано в примере 1.1, есть промежуток .

Почленно продифференцируем этот ряд:

 

.^(2.1)

 

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .

Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости,  т. е. при  и при .

При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

 

.

Этот числовой ряд  расходится, так как не выполняется  необходимый признак сходимости : , который не существует.

При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд

 

,

 

который также расходится, так как не выполняется необходимый  признак сходимости.

Следовательно, область  сходимости степенного ряда, полученного  при почленном дифференцировании  исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .

 

   РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.

 

 

  С  помощью степенных рядов возможно  интегрировать дифференциальные  уравнения. 

 Рассмотрим линейное  дифференциальное уравнение вида:

 

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются  в сходящиеся в некотором интервале  степенные ряды, то существует решение  этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. 

 Это решение можно  представить степенным рядом:

 

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Эта задача решается методом сравнения  неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции  подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все  необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) 

 Затем приравниваем коэффициенты  при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i. 

 Отметим, что этот метод  применим и к нелинейным дифференциальным  уравнениям. 

  

 Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

 

 

 

  Подставляем  полученные выражения в исходное  уравнение:

Отсюда получаем:  

 

………………

Получаем, подставив начальные  условия в выражения для искомой  функции и ее первой производной:

Окончательно получим:    

 

Итого:  

 

 

   

 Существует и другой  метод решения дифференциальных  уравнений с помощью рядов.  Он носит название метод последовательного  дифференцирования.  

 

 

  Рассмотрим  тот же пример. Решение дифференциального  уравнения будем искать в виде  разложения неизвестной функции  в ряд Маклорена.

 

 

 

 Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что  

 Далее запишем дифференциальное  уравнение в виде   и будем последовательно дифференцировать его по х.

 

 

 

 После подстановки полученных значений получаем: 

 

 

 

 

 

                             ПОНЯТИЕ СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА.

 

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд  сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:

Возьмём степенной ряд : . Этот ряд сходится при . В частности, суммой ряда  в его области сходимости  является некоторая функция :  

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной  области  , вне этого промежутка степенной ряд  будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:

 
Область сходимости ряда:

График синуса : 

Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! Т.е. наш степенной ряд  сходится к функции . Используя признак Даламбера легко проверить, что ряд  сходится при любом «х»:  .

Рассмотрим пример, табличное разложение арктангенса: 
 
Область сходимости ряда:

График бесконечного многочлена   совпадает с графиком арктангенса  только на отрезке  (т.е. в области сходимости ряда):

Вне отрезка   разложение арктангенса в ряд  расходится.

 

                           РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД. 
                                РЯД ТЕЙЛОРА. РЯД МАКЛОРЕНА.

 

Если функция   в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой: 
 
Примечания: Надстрочный индекс  в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула получила имя Тейлора.  На практике в 95% приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда : 

Это разложение в ряд  обычно называют именем Маклорена . Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора  по степеням .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем  разложение экспоненциальной функции: 
 
По формуле Маклорена: 
 
Рассмотрим функцию , тогда: 

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д.  Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя: 
 
 
 
 

 
 
И так далее….

Совершенно очевидно, что 

Подставляем единицы в формулу  Маклорена и получаем наше табличное  разложение!

 

                  ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА.

 

Пример 1

Разложить функцию в  ряд Маклорена. Найти область  сходимости полученного ряда.

Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням  

Используем элементарное разложение:

.  
Область сходимости ряда:

В данном случае

В числителях раскрываем скобки: 

Теперь умножаем обе части на «х»: 

В итоге искомое разложение функции в ряд: 

Разложение косинуса сходится при любом значении «альфа»: , а значит и при . Домножение  на «х» не играет никакой роли в плане сходимости. Поэтому область сходимости полученного ряда:

Пример 2

Разложить функцию в  ряд по степеням . Найти область сходимости ряда. 

В таблице находим  похожее разложение: 
 
Область сходимости ряда: , концы интервала нужно исследовать дополнительно.

Перепишем функцию немного по-другому: 

Таким образом,  и: 
 
Окончательно: 

Теперь нужно определить область сходимости. Смотрим на табличное  неравенство  . У нас тут минус и «х» в квадрате: , не факт, что область сходимости полученного ряда будет именно такая. В сомнительных случаях надежнее всего подробно проанализировать полученный степенной ряд. В данном случае функция разложилась в ряд . Используя штатный признак Даламбера, легко найти интервал сходимости ряда: . Будет ли сходиться ряд на концах интервала? Если подставить значения , , то в обоих случаях получится расходящийся гармонический ряд  (знак «минус» перед рядом никак не влияет на сходимость или расходимость).