Разностные уравнения и системы разностных уравнений

 

ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра информационных технологий и автоматизированных систем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Теория разностных уравнений»

Часть 1. Разностные уравнения и системы разностных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент гр. АСУ-12бз

Гашков С.И.

 

Преподаватель

Седова С.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь, 2015 г.

 

Во всех заданиях

I. Найти решение  задачи Коши для линейного  неоднородного разностного уравнения 1-го порядка.

10.   , 

- общее  решение однородного уравнения

- неизвестное  число

Характеристическое уравнение:

Ответ:

 

II. Найти  решение задачи Коши для линейного  однородного разностного уравнения 2-го порядка.

10.  ,  ,

Записываем общее решение однородного уравнения в виде:

yk = С αk, где α - пока неизвестное.

yk+1 – 6 yk + 12 yk-1 = C αk+1 - 6 С αk + 12 С αk-1 = 0

С αk-1(α2 - 6α + 12) = 0

 

Получили квадратное уравнение:

α2 - 6α + 12 = 0

Решим его:

а = 1, b = -6, c = 12

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4*1*12 = 36 – 48 = -12 < 0 =>

Запишем полученные комплексные корни в тригонометрическом виде:

Получили общее решение уравнения:

Подставим начальные условия

y0 = 1, y1 = 0

Упростим

 

 

Подставим:

Ответ:

 

III. Найти  общее решение линейного неоднородного  разностного уравнения 2-го порядка.

10.

1. Найдем  общее уравнение соответствующего  линейного однородного уравнения:

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Тогда общим решением однородного разностного уравнения является:

2. Найдем  частное решение уравнения.

Частное решение будем искать в виде: , где - неизвестный пока коэффициент.

Подставляя  в исходное уравнение получаем:

 

Тогда:

3. Находим  общее решение исходного разностного  уравнения как сумму общего  решения соответствующего однородного  уравнения и частного решения:

Ответ: