Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Решение дифференциальных уравнений с помощью

 
степенных рядов. 
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. 
 
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: 
 
 
 
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. 
 
Это решение можно представить степенным рядом: 
 
 
 
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i. 
 
Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) 
 
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i. 
 
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. 
Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. 
 
Решение уравнения будем искать в виде  
 
 
 
 
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: 
 
 
 
 
 
Отсюда получаем:  
 
 
 
……………… 
 
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: 
 
 
 
Окончательно получим:  
 
 
 
 
Итого:  
 
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.  
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. 
 
 
Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что  
 
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х. 
 
 
После подстановки полученных значений получаем: 
 
Приближенное вычисление определенного интеграла. 
Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подинтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции. 
 
^ Формула прямоугольников. 
Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x₀, x₁, … , x_m, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках. 
 
 
 
Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом: 
 
y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …. , y_n = f(x_n). 
 
Составим суммы: y₀Dx + y₁Dx + … + y_n-1Dx 
 
y₁Dx + y₂Dx + … + y_nDx 
 
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной. 
 
Тогда или 
 
- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников. 
 
 
^ Формула трапеций. 
Эта формула является более точной по 
 
у сравнению с формулой прямоугольников. 
 
Подинтегральная функция в этом случае 
 
заменяется на вписанную ломаную. 
 
 
y₁ у₂ у_n 
a x₁ x₂ b x 
Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл. 
Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам: 
 
 
 
 
 
После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций: 
 
 
^ Формула парабол  
 
(формула Симпсона или квадратурная формула). 
(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик) 
Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x₀), f(x₁), f(x₂). 
 
Для каждой пары отрезков построим такую параболу. 
 
у 
 
0 х₀ х₁ х₂ х₃ х₄ х  
Уравнения этих парабол имеют вид Ax² + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой. 
 
(1) 
 
Обозначим . 
 
 
 
Если принять х₀ = -h, x₁ = 0, x₂ = h, то (2) 
 
Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:  
 
 
 
C учетом этого: . 
 
Отсюда уравнение (2) примет вид:  
 
Тогда  
 
 
Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона: 
 
 
 
Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено. 
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла  
 
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. 
По формуле Симпсона получим: 
 

 
 
 
Точное значение этого интеграла  – 91.173. 
Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная. 
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций. 
 
 
 
Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона. 
 
Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подинтегральной функции в степенной ряд.  
 
Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подинтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму. 
Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл  
 
 
 
Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подинтегральной функции формулой Маклорена. 
 
Разложение функции cosx имеет вид: 
 
Зная разложение функции cosх легко найти функцию 1 – cosx: 
 
 
В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования. 
Теперь представим в виде ряда подинтегральное выражение. 
 
Теперь представим наш интеграл в виде: 
 
В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда). 
 
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами.) Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов). 
Итак: 
 
 
Итого, получаем: 
 
Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения. 
Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418… 
 
Метод наименьших квадратов 
 
В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаями линейной и квадратичной зависимости. Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами x и y, например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции. Произведем обследование n видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

 
 
Из анализа таблицы нелегко  обнаружить наличие и характер зависимости  между x и y. Поэтому обратимся к графику. Допустим, что точки, взятые из таблицы (опытные точки) группируются около некоторой прямой линии. Тогда можно предположить,что между x и y y= ax+b, где`существует линейная зависимость a и b `- коэффициенты, подлежащие определению,y - теоретическое значение ординаты. Проведя прямую “на глаз”, можно , однако это будут весьма неточныеaграфически найти b и a=tg  результаты. Для нахождения a, b применяют метод наименьших квадратов. 
 
Перепишем y=0. Точки, построенные на`уравнение искомой прямой в виде ax + b - основе опытных данных, вообще говоря, не лежат на этой прямой. Поэтому если подставить в уравнение прямой вместо x `иy заданные величины x_i и y_i, то окажется, что левая часть уравнения 
eравна какой-то малой величине _iy`=_i -y_i; а именно: для первой точки 
ax₁ + b - y₁ e= _1, для второй - ax₂ + b - y₂ e= _2, для последней - 
ax_n + b - y_n e= _n. eВеличины ₁e, ₂e,..., _n, не равные нулю, называются погрешностями. Геометрически это разность между ординатой точки на прямой и ординатой опытной точки с той же абсциссой. Погрешности зависят от выбранного положения прямой, т.е. от a и b. Требуется подобрать a и b таким образом, чтобы эти погрешности были возможно меньшими по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в том, что a и b выбираются из условия, чтобы сумма квадратов погрешностей u = была минимальной. Если эта сумма квадратов окажется минимальной, то и сами погрешности будут в среднем малыми по абсолютной величине. Подставим в выражение для u вместо e_i их значения. 
 
u = (ax₁ + b - y₁) ² + (ax₂ + b - y₂) ² +... + ( ax_n + b - y_n)², или u = u(a,b), 
 
где x_i, y_i известные величины, a и b - неизвестные, подлежащие 
определению. Выберем a и b так, чтобы u(a,b) имело наименьшее 
значение. Необходимые условия экстремума , . Имеем: 
= 2(ax₁ + b - y₁)x₁ +... +2 (ax₁ + b - y₁)x_n, = 2(ax₁ + b - y₁) +... + 
+ 2 (ax₁ + b - y₁). Получаем систему: 
 
. 
 
Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее находим a и b y = ax + b. Пусть теперь`и затем подставляем их в эмпирическую формулу  точки на графике располагаются вблизи некоторой параболы так, что между x и y y=ax`можно предположить квадратичную зависимость:² + bx + c, тогда . Тогда u = = . Здесь u = u(a, b, c) - функция трех независимых переменных a, b, c. Необходимые условия экстремума , , в этом случае примут следующий вид: 
 
. 
 
y = ax`Получили нормальные уравнения способа наименьших квадратов для квадратичной зависимости ² + bx + c, коэффициенты которой находим, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 
 
Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д. 
 
Метод наименьших квадратов оказывается весьма эффективным при исследовании качества промышленной продукции в зависимости от определяющих его факторов на основе статистических данных текущего контроля качества продукции, в задачах моделирования потребительского спроса. 
 
Пример 3.29. Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице.

 
 
Предполагая, что зависимость y от x линейная: y = ax + b, найти a и b.  
 
Решение. Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений: . 
 
Следовательно, имеем систему 110,57. Итак, получили уравнение искомой прямой:» 15,93; b », решая которую, получим: a  
y = 15,93x + 110,57.