Решение краевых задач методом конечных разностей

Министерство образования и науки Российской Федерации

СПБГАСУ

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Решение краевых задач методом конечных разностей»

 

 

 

 

 

Работу выполнила студентка

Гр. 2СУСЗ1 Власюк А.О.

Работу принял преподаватель

Шацков В. В.

 

 

 

 

 

2013

Задание

Решить дифференциальное уравнение

при

 

Решение

Теоретическое обоснование

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде выглядит так:

, из исходного уравнения определяем:

 

 

 

Для решения данного уравнения необходимо знать дополнительные условия, определяющие состояние объекта при некоторых заданных значениях координат переменной . Дополнительные условия называются граничными или краевыми.

Если определен на промежутке [a; b], то граничные условия можно записать 0, k, где 0, k – фиксированные числовые значения.

Уравнение решается с помощью метода конечных разностей (метод сеток). Основой метода является замена непрерывной области объекта на дискретное множество i ( i=0,1,2…n), на которых определяется значение функции i, где

 

0=a

n=b

Разделим интервал на n равных частей с  шагом h, при это сформируется сетка с n+1 узлами:

 

Используя обозначения , заменим конечно-разностными выражениями для производных:

 

С помощью данных выражений для производных заменим исходное дифференциальное уравнение на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных:

i=1, 2, 3,…n-1

; ;

 

Умножим обе части уравнения на :

 

Введем дополнительные обозначения:

Ai = ;  Bi = ;  Ci = ; Fi =

получим уравнение, которое является математической записью системы n-1 линейного алгебраического уравнения относительно n+1 неизвестных :

 

Составим систему для n=5:

 

Получилась система из 6 уравнений, которая имеет 3-х диагональную матрицу коэффициентов. Эта система решается методом прогонки.

Подставим во второе уравнение системы из первого уравнения и выразим из полученного

 

Тогда можно вывести следующие коэффициенты:

; 

Ключевое уравнение для выражения

находим в обратном порядке решение системы.

 

 

Практическая часть:

Исходя из исходных данных  найдем шаг сетки h:

 

Для данного дифференциального уравнения:   

 

 

Далее рассчитаем коэффициенты А, В и С:

;  ;  ,

исходя из исходных данных и полученных результатов, построим таблицу следующих значений:

 

 

(табл.1)

Находим решения искомой функции, перемножив матрицу системы на :

Найдем значения функции методом  прогонки:

Пользуясь данными из 1 таблицы можно рассчитать прогоночные коэффициенты:

Пользуясь формулой и полученными прогоночными коэффициентами, совершим обратный ход прогонки для вычисления значений искомой функции:

Построим график для искомой функции:

 

Выполняя работу двумя разными методами, значения искомой функции совпали. Вычисления выполнены верно.