Решение примеров по матанализу

Решение.

10. Найти область определения  функции  

Знаем, что подкоренное  выражение не должно меньше нуля. Отсюда

Две точки делят область  значений x на три области: , нужно определить какие области удовлетворяют неравенству . Для этого подставим в неравенство по одному значению из каждой области.

Подставим , н-р, -1 , получим

Подставим , н-р, 1 , получим

Подставим , н-р, 6 , получим

Проставим знаки  для удобства.

Совместим область определения  из первого неравенства и второго, получим:

Общей областью является область  значений от – бесконечности до нуля и от 5 до 7 включительно. Итак, Область  определения данной функции является область значений x

 

20. Найти пределы, не  пользуясь правилом Лопиталя

а)

б)

 

D= 16-4*3=4     x1=(4+2)/2=3      x2=(4-2)/2=1

 

 

 

D=9 – 4*2=1    x1= (3+1)/2=4    x2=(3-1)/2=1

 

в)

 

 

 

г)

 

30. Установить является ли функция непрерывная для каждого из значений аргумента, сделать схематический чертеж.

 

Исследуем  на непрерывность точку x=-5 (где знаменатель превращается в нуль).

Вычислим пределы справа и слева:

 

 

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке  x1= - 5.

 

В точке х2 = - 3 разрыва нет

 

40. Найти точки разрыва  функции, если они существуют, сделать чертеж.

 

Исследуем непрерывность  функции в точках x=0  и x=4

 

 

 

 

В точке х=0 разрыва  нет, а в точке х=4 разрыв первого  рода и имеет скачок, равный

 

 

 

50. Найти производные функций.

а)     Используем правило

 

 

 

б)

 

в)      Используем правило

 

г)      Используем правило