Решение уравнений и неравенств с параметрами

     Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя(полная) общеобразовательная школа №6 

Реферат по предпрофильному курсу

На тему:

«Графическое решение уравнений, неравенств и систем с параметром»

                                                                       
 
 

                                                                       Подготовил учащийся 9 «б» класса   

                                                                       МБОУ сош №6

                                                                       Соломахин Игорь

                                                                       Проверил учитель алгебры

                                                                       Баева О.Н. 
 
 
 
 
 
 

2011 г 

     Содержание

     Введение……………………………………………………………..2

     Основные  определения………………………………………3

     Алгоритмы решений……………………………………………3

     Примеры………………………………………………………………4

     Неравенства с параметрами……………………………….8

     Алгоритм  решений………………………………………………9

     Примеры………………………………………………………………9

     Заключение…………………………………………………………12

     Литературный  список…………………………………………13

 

         Введение 

     Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

     Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами.

     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
3. показать решение уравнений с параметрами.

     Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике.

     Объектом  исследовательской  работы было решение уравнений с параметрами.

     Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список. 

 

1. Основные определения

Рассмотрим уравнение 

f(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x),                  (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и  левая и правая части этого  уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть  А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество  всех допустимых значений х, т.е. а∈А, b ∈B, …, x∈X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения  считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n  а неизвестные  – буквами x, y,z.

Решить уравнение  с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл  при одних и тех же значениях  параметров;

б) каждое решение  первого уравнения является решением второго и наоборот.

 

2. Алгоритм решения.

Находим область  определения уравнения.

Выражаем a как функцию  от  х.

В системе координат  хОа строим график функции а=f(х) для  тех значений х, которые входят в  область определения данного  уравнения.

Находим точки пересечения  прямой а=с, где с∈(-∞;+∞) с графиком функции а=f(х).Если прямая а=с пересекает график а=f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=f(х) относительно х. 

Записываем ответ.

3. Примеры

I. Решить уравнение

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить  уравнение относительно а :

    или

График функции  – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения  определяется количеством точек  пересечения построенной линии  и прямой у=а.

Если а ∈ (-∞;-1]∪(1;+∞)∪   , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем  при решении уравнения    относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение      .

Если а ∈   ,  то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений      и    , получаем

     и    .

Если а ∈   , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет 
 

 Ответ: 

Если а ∈ (-∞;-1]∪ (1;+∞)∪  , то   ;

Если а ∈  ,  то     ,   ;

. Если а ∈   , то решений нет

II. Найти все значения  параметра а, при которых уравнение    имеет три различных корня.

 Решение.

Переписав уравнение  в виде     и рассмотрев пару функций                                                                                                   , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции   , при которых он имеет точно три точки пересечения с   графиком функции   .    

В системе координат  хОу построим график функции   ). Для этого можно представить  её в виде    и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции     – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный   , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции   . Поэтому находим производную  

Ответ:   
 

III.  Найти все  значения параметра а, при каждом  из которых система уравнений

имеет решения.

 Решение.

Из первого уравнения  системы получим    при   Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы    “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой  части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек  плоскости  , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямы и                 

Выясним, при каких  значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет  хотя бы одну общую точку с одной  из полученных прямых.

Если вершины полупарабол  находятся правее точки А, но левее  точки В (точка В соответствует  вершине той “полупараболы”, которая  касается

прямой   ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания  “полупараболы” с прямой  определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение 

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при  , а при   или    имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а ∈ (-∞;-3] ∪(  ;+∞).

 

  V. Решить уравнение

  , где  а  - параметр.                 (5)

Решение.

1.    При любом   а :

2.    Если  , то  ;

если  , то   .

3.    Строим  график функции   , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции   , которая соответствует   .  

4.    По графику  определяем, при каких значениях  а уравнение  (5)  имеет  решение  и при каких – не имеет  решения. 

 

Ответ:

если  , то    

если   , то ; 

если  , то решений нет;  

 если   , то ,    .

II. Неравенства с  параметрами.

1. Основные определения

Неравенство

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),                  (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а  x – действительная переменная величина, называется неравенством с  одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …,  k = k0, при  некоторой функции 

f(a, b, c, …, k, x)  и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в  области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

 называется допустимым значением  х, если 

f(a, b, c, …, k, x)  и 

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе  значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения  неравенства (1).

Действительное число  х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство 

f(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой  системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких  значениях параметров существует общее  решение и каково оно.

Два неравенства

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x)  и        (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x)           (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие  решения при одном и том  же множестве систем допустимых значений параметров. 

 

2. Алгоритм решения.

1.    Находим  область определения данного  неравенства.

2.    Сводим  неравенство к уравнению.

3.    Выражаем  а как функцию от х.

4.    В системе  координат хОа строим графики  функций а =f (х) для тех значений  х, которые входят в область  определения данного неравенства.

5.    Находим  множества точек, удовлетворяющих  данному неравенству.