Решение задач по математической экономике

Пояснение экономического смыла двойственной оценки ресурсов представлены более наглядно в виде таблице (рисунок11).

 

Рисунок 11 – Экономический смысл.

По плану сырье  видов II и III израсходовано полностью и цена на них ненулевая. Сырье I вида израсходовано не полностью и цена на него равна нулю.

По плану выпускаем  оба вида продукции и им соответствуют  нулевые превышения затрат.

Ответ: безразлично производить ли продукцию по оптимальному плану Х = (48;24;96;0;0)и получить прибыль 594 или продать все ресурсы по оптимальным ценам Y = (0;0;0;0;0,57;1,57)и получить прибыль552

F=W=552– равенство прибыли при производстве сырья и продажи ресурсов

б)Указать вид наиболее дефицитного сырья

Ответ:Наиболее дефицитным сырьем является сырье вида II и III, т.к. при достижении максимальной прибыли данных видов сырья останется в количестве равного 0.

в) Определить прирост целевой функции прямой задачи и изменение оптимального плана и производства при увеличении объема сырья каждого вида на 1 ед.

Увеличим объем каждого  ресурса на 1 ед. (рисунок 12).

Рисунок 12 – Увеличение объема на 1 ед.

Новый опорный план будет  иметь вид:Х = (40;16;120;0;0), из него следует что при изменения объема на 1 единицу мы сможем произвести продукцию А – 40ед. и продукцию В- 16 ед., что значительно меньше предыдущих показателей. При этом будет израсходовано меньшее количество ресурсов и суммарно останется 120 ед. против прежних 96 ед.

Ответ:Прироста целевой функции не произойдет из-за больших потребностей в ресурсах, и целевая функция примет вид: F= 40*8+16*7=432, из этого видно что существенно снизиться прибыль.

 г)Рентабельность производство новой продукции С.

Добавим новый продукт  «С» с заданными параметрами  расхода сырья и цены (рисунок  13).

Рисунок 13 – Добавлен новый продукт в таблицу.

Затраты на производство продукцию  С составят:

3*0+7*0,57+5*1,57=11.84

11.8447 рентабельно

Ответ:Цена товара С очень велика что делает его рентабельным в данной экономической ситуации. Следовательно его выгодно производить.

 

2. Транспортная задача (закрытая модель).

1. Нахождение оптимального плана методом северо-западного угла.

Исходные данные даны в виде таблице (рисунок 14).

Рисунок 14 – Исходные данные транспортной задачи.

Заполнение таблицы начинается с левого верхнего угла.

a₁₁ = min (100;200)=100

Вычеркиваем из рассмотрения столбец 1-ого потребителя, т.к. потребность  удовлетворена. Переходим к столбцу 2

Запасы базы I остаются в количестве 200-100=100

а₁₂=min (140;100)=100

a₂₂=min (40;100)=40

a₂₃=min (40;60)=40

a₂₄=min (130;20)=20

a₃₄=min (110;200)=110

a₃₅=min (90;90)=0

Найден начальный план перевозок, т.к. израсходованы все запасы поставщиков и удовлетворены все потребности потребителей  (рисунок 15).

Рисунок 15 – План перевозок.

Рассчитываем стоимость  перевозок по составленному плану:

F=8*100+15*100+4*40+6*40+6*20+9*110+10*90=4050

 

2. Нахождение оптимального плана методом наименьшей стоимости.

Для решения транспортной задачи методом наименьшей стоимости  потребуется (рисунок 16).

Рисунок 16 – Исходные данные.

x_ij- количество единиц груза, которое необходимо перевезти от i-ой базы к j-ому потребителю.

Система ограничений по запасам:

 

Система ограничений по потребителям:

 

_{– условие не отрицательности.}

 

Суть метода заключается  в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее значение из столбца «Запасы» или строки «Потребности».

Затем, из рассмотрения исключают  либо строку, либо столбец, смотря, откуда было выбрано значение.

Из оставшейся части таблицы  стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения  запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности  удовлетворены. В результате получен первый опорный план  (рисунок 17).

Рисунок 17 – Опорный план.

Закрытая транспортная задача должна содержать  m + n – 1 заполненных  ячеек. В нашем случае 3+5-1=7 - верно

Значение целевой функции  для этого опорного плана равно:

F(x) = 11*40 + 4*130 + 12*30 + 4*100 + 5*100 + 7*40 + 10*60  =3100

Строим систему потенциалов  для занятых клеток. Для этого  потенциал строки с наибольшим количеством  занятых ячеек приравнивается к  нулю, остальные потенциалы находятся  из равенства: u_i+v_j=c_ij.Получаем таблицу (рисунок 18).

Рисунок 18 – Таблица с потенциалами.

Проверяем построенный план на оптимальность. Для этого для  пустых ячеек проверяем неравенство  u_i+v_j≤ c_ij. План не является оптимальным (рисунок 19).

Рисунок 19 – Не оптимальный план.

В пустых ячейках, в которых  не выполняется условие u_i+v_j=c_ij, находим наибольшее из разностей (u_i+v_j)-c_ijи в этой клетке ставим «+». Данная клетка будет являться началом цикла, затем из нее строим цикл, захватывающий заполненные ячейки. В остальных вершинах многоугольника чередуются знаки «-», «+».

∆ max = 2, из клетки  (2;5) начинается цикл. Цикл может идти только под углом в и должен вернуться в соседнюю ячейку начала пути (рисунок 20).

Рисунок 20 – Цикл для клетки (2;3).

x_min = 60 – min значение в ячейках со знаком «-»

х₂₅=х₂₅+ x_min=60

х₂₂=х₂₂- x_min=100-60=40

х₃₂=40+60=100

х₃₅=60-60=0

Произведя вычисления составляем изменённую таблицу опорного решения  и проверяем ее на оптимальность (рисунок 21).

Рисунок 21 – Изменённый опорный план.

Значение целевой функции  нового опорного плана:

F(x) = 11*40 + 4*130 + 12*30 + 4*40 + 5*60 + 5*100 + 7*100  =2980

Строим систему потенциалов  для занятых клеток. План не является оптимальным (рисунок 18).

Рисунок 18 – Опорный план с потенциалами.

Началом цикла будет являться клетка (1;1). Строим цикл и производим пересчет аналогично с предыдущим. (рисунок 19).

Рисунок 19 – Цикл для клетки (1;1).

x_min = 30 – min значение в ячейках со знаком «-»

х₁₁=х₁₁+ x_min=30

х₃₁=х₃₁- x_min=100-30=70

х₃₂=100+30=130

х₂₂=40-10=10

х₂₅=60-30=90

х₁₅=30-30=0

Произведя вычисления составляем изменённую таблицу опорного решения  и проверяем ее на оптимальность (рисунок 17).

Рисунок 20 – Опорный план.

Значение целевой функции  нового опорного плана:

F = 30*8+11*40+130*4+70*4+90*5+70*5+130*7=2950

Строим систему потенциалов  для занятых клеток. И проверяем опорный план на оптимальность

Опорный план является оптимальным, так как все оценки свободных  клеток удовлетворяют условию u_i + v_i ≤ c_ij

Ответ: наименьшая стоимость перевозки равна 2950 ед., достигается при перевозке х₁₁=30, х₁₃=40, х₁₄=130, х₂₂=70, х₂₅=90, х₃₁=70, х₃₂=130.

 

Проверка решение задачи в Excel:

Для поиска решения определяем целевую ячейку, которая по условию стремиться к минимуму, изменяемые ячейки (рисунок 22).

Рисунок 22 – Параметры поиска решения транспортной задачи.

Найденное решение демонстрирует  правильность подсчета минимальный цены поставки (рисунок 23).

Рисунок 23 – Решение транспортной задачи в Excel.

 

Заключение.

Использование математических моделей позволяет осуществить  предварительный выбор оптимальных  или близких к ним вариантов  решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее  решение, может руководствоваться  ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое  решение, полученное при расчете  математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.

В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных  решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное  управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство  проектом, распределение инвестиций и т.п.

При выполнении данной курсовой работы я получила представление об исследовании экономических проблем с помощью математических методов, на практике научилась строить линейные оптимизационные модели и решать линейные оптимизационные задачи, а также ознакомилась с принципом решения задач в табличном процессоре MSExcel.

 

Список литературы.

1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-Ленингр. ун-та, 1976. - 184 с.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб.пособие - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк. ,1993 - 336 с.
3. Ашманов С.А.Линейное программирование. - М.: Наука, 1981.
4. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. -4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 416 с.
5. Баканов М.И., ШереметА.Д.Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование: Учеб.пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. -656 с.
6. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1989. -176 с.
7. Т.Н. Павлова, О.А. Ракова. Решение задач линейного программирования средствами Excel. Учебное пособие. - Димитровград, 2002г.
8. В.И. Ермаков. Сборник задач по высшей математике для экономистов.-М.: Издательство Инфра, 2001г, 574с.