Решение задач теории колебаний методом интегральных преобразований

Министерство  образования Республики Беларусь

Белорусский Государственный  Университет

 

Механико-математический факультет

 

Кафедра прикладной и теоретической  механики

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Решение задач теории колебаний  методом интегральных преобразований

 

 

 

 

 

Автор работы: студентка

3 курса отделения

«Механика»                       _________________                      А. Ю. Соболь

                                                   (подпись)

                                                     (дата)

 

Руководитель:

канд. физико-математ. наук,

доцент                                             ________________              В. П. Савчук

                                                               (подпись)

                                                                 (дата)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск 2011

 

                                          Содержание:

 

 

1. Постановка задачи………………………………………………………………3
2. Цель работы……………………………………………………………………...4
3. Введение…………………………………………………………………………5
4. Получение уравнения малых колебаний массы m, которая размещена на середине нити:

     а) без  учета массы нити………………………………………………….…..6

     б) с учетом  массы нити…………………………………………….……...…7

Постановка граничных  и начальных условий натяжения  нити

5. Преобразование Лапласа и переходные процессы в задаче….........................8
6. Вывод (отчет о проделанной работе)…………………………………………………….…………………….15
7. Список литературы………………………………………………..……….…..16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка  задачи

 

Дана нить в средней точке которой закреплена точечная масса. Найти уравнение колебания этой нити в результате начального отклонения массы m без учёта внешних сил. Решить полученное уравнение методом, в основу которого положены преобразования Лапласа.

 

 

 

Дано:

 

2l – длина стержня

Т = const

m – точечная масса, помещённая на середину нити.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель  работы:

 

1. Получить уравнение малых колебаний массы m, которая размещена на середине нити:

     а) без учета массы нити;

     б) с учетом массы нити.

Поставить граничные  и начальные условия натяжения нити, где Т = const.

 

2. Решить полученные задачи, применяя преобразования Лапласа по времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Для того чтобы получить уравнение  малых колебаний массы, закреплённой на нити необходимо записать дифференциальное уравнение колебаний струны (где струной называется тонкая нить, работающая на растяжение, но не на изгиб):

                           (1)

где – отклонение нити в любой точке, имеющей абсциссу x, в момент времени t, - плотность, а - сила натяжения нити (   и   - известные нам константы).

При этом должны быть заданы начальные условия движения:

 

                                                            (2)

 

и граничные (краевые) условия:

 

                                       (3)

 

Начальные условия (2) показывают, в каком положении находилась струна (нить) в начальный момент времени и какова скорость каждой её точки при t=0.

Краевые условия (3) показывают, что концы струны закреплены в  точках: –l , 0 и l.

Решение обратных задач  часто представляет значительные трудности, т.к. при этом приходиться интегрировать дифференциальное  уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Преобразования Лапласа позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования функций простыми операциями умножения и деления. В данном случае при исследовании переходных процессов в динамической системе удобнее будет пользоваться не классическим методом интегрирования дифференциальных уравнений движения, а методом, в основе которого лежит преобразование Лапласа.

 

 

 

 

 

Получение уравнения малых колебаний массы m, которая размещена на середине нити.

 

a)без учета массы нити:

 

 

Запишем дифференциальное уравнение малых колебаний массы, закреплённой на середине нити, без учета массы нити:

 

                         (1)

 

 

Граничные и начальные условия имеют вид:

 

        (2)

           (3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) с учётом массы нити:

 

Запишем дифференциальное уравнение малых колебаний массы, закреплённой на середине нити, c учетом массы стержня:

 

   (1)

 

где - плотность нити, - сила натяжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Теперь запишем граничные  и начальные условия для данного  случая:

 

граничные условия:

 

                                       (3)

 

начальные условия:

                                                            (2)

 

 

 

Преобразование  Лапласа и переходные процессы в  задаче

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начнем с дополнительных сведений:

Функция называется изображением Лапласа функции f , L–изображением или преобразованием Лапласа.

Мы будем употреблять  обозначение:

Функцию в этом случае называют начальной функцией или оригиналом.

Предположим, что - рассматриваемые как функции t, оригиналы, тогда: - изображение функции . Тогда:

По правилу дифференцирования оригиналов получаем с учетом начальных условий: ( ))

                                   (*)

Аналогичным образом  находим и изображение функции  .

Далее, учитывая уравнения (*) можно переписать дифференциальное уравнение (1) в виде:

 

 

 

 

б)

Перепишем начальные  и граничные условия:

 

,

 

 

.

 

 

А именно:

Решаем дифференциальные уравнения (*) и находим чему равны и :

  

Тогда:

Подставив граничные  и начальные условия в уравнения   и можно найти константы:

              (1*)

                    (2*)

                                          (3*)

            (4*)

 

Получили систему из 4х уравнений с 4мя неизвестными, решая её найдем все константы:

,

,

.

 

Возвращаемся к уравнениям  и , перепишем их учитывая найденные константы:

 

 

 

 

Преобразуем эти уравнения:

,

.

Далее, чтобы найти  и воспользуемся теорией о вычетах. Исследуем знаменатель на наличие полюсов. В данном случае полюсов будет бесконечное множество.

 

p=0 

Вычет полюса p=0:

 

Далее найдем полюс  . Для этого нам надо решить уравнение:

Предположим, что  и подставим в выражение:

 

          (!)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.3

 

Предположим, что решением этого уравнения будут корни 

, тогда возвращаясь к заменам, получим, что

 

.

 

Корни будут только мнимые, т.к. на действительной области решений уравнение (!) не имеет.

 

 

Преобразуя Sh и Ch в Sin и Cos получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод (отчет) о проделанной работе

В результате курсовой работы мы получили уравнение малых колебаний массы m, которая размещена на середине нити:

 

     а) без  учета массы нити;

     б) с учетом  массы нити.

Поставили граничные и начальные условия натяжения нити, где Т = const.

 

Далее мы решили полученные уравнения для двух рассматриваемых участков с учетом массы нити, применяя преобразования Лапласа по времени, в результате которых мы определили функции отклонения нити в любой точке, в зависимости от времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

 

 

1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский «Уравнения математической физики» (М. 1999)

 

2. Я.С.Бугров, С.М.Никольский «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» (1998)

 

3. М.Л.Краснов, А.И.Киселёв, Г.И.Макаренко «Функции комплексного переменного. Операционные исчисления. Теория устойчивости» (Москва, 1981)