Роль математики в химии

 

Оглавление

Введение 2

Роль математики в химии 3

Ограничения накладывающиеся химией на решение математических задач. 4

Графическое определение теплового эффекта. 8

Заключение 9

Литература10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Химия– одна из наук, изучающих природу. Многие химики, проявляя свойственный профессионалам снобизм, считают ее основой естествознания. Впрочем, точно так же думают физики и биологи. И каждый имеет на то свои основания. Физика рассматривает наиболее общие законы Вселенной, биология исследует самое интересное явление во Вселенной– жизнь, а химия изучает то, из чего построены объекты окружающего мира, – вещества. Все многообразие проблем, которые решает химия, можно свести к следующим основным вопросам:

• Какие бывают вещества?

• Как они устроены?

• Как связано строение веществ с их свойствами?

• Как из одних веществ получить другие, более полезные или интересные?

Химия как наука и как способ познания природы обладает необычными свойствами. У нее нет собственных законов. Все законы химии, включая Периодический закон, служат лишь частными проявлениями общих законов, которыми занимается физика. Поэтому недалекие научные работники считают химию частью физики. Разумеется, это глубоко ошибочная точка зрения. А что же есть в химии своего? В первую очередь, колоссальное многообразие изучаемых объектов. Одних только чистых индивидуальных веществ в химии охарактеризовано около 20 миллионов, не считая многочисленных смесей. А ведь есть еще и химические реакции между веществами.

Из всех известных химии веществ лишь очень небольшая доля– всего несколько процентов– имеется в природе, остальные вещества– продукт деятельности учёных.

По мнению выдающего американского химика Роальда Хоффмана(род. 1937), химики отличаются от любых других ученых тем, что собственноручно творят те объекты, которые потом воспринимают и изучают. В точности то же самое делают писатели, художники и композиторы. Это роднит химию с искусством. Другие естественные науки– физика и биология– изучают то, что создано природой, а химия– главным образом то, что сделала сама.

 

Роль математики в химии

 

    Химия широко использует в своих целях достижения других наук, в первую очередь, физики и математики. Химики обычно определяют математику упрощенно – как науку о числах. Числами выражаются многие свойства веществ и характеристики химических реакций. Для описания веществ и реакций используют физические теории, в которых роль математики настолько велика, что иногда трудно понять, где физика, а где математика. Отсюда следует, что и химия немыслима без математики.

    Математика для химиков– это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения– основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике.  

   Выражение«математическая химия» прочно вошло в лексикон химиков. Многие статьи в серьезных химичиских журналах не содержат ни одной химической формулы, зато изобилуют математическими уравнениями. Приложения математики в химии обширны и разнообразны. Ниже мы постараемся вам это показать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограничения накладывающиеся химией на решение математических задач.

Как-то раз Гаусс спорил с Авогадро(1776-1856) о сущности научных законов. Гаусс утверждал, что законы существуют только в математике, а потому химия почитаться за науку не может. В ответ Авогадро сжег2 л водорода в литре кислорода и, получив два литра водяного пара, торжествующе воскликнул: «Вот видите! Если химия захочет, то два плюс один окажутся равны двум. А что скажет на это ваша математика?» ([1], с. 95).

Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с абстрактными величинами, а с конкретными свойствами атомов и молекул, которые подчиняются естественным природным ограничениям. Иногда эти ограничения бывают довольно жесткими и приводят к резкому сужению числа возможных решений математических уравнений. Говоря другим языком, математические уравнения, применяемые в химии, а также их решения должны иметь химический смысл. Рассмотрим конкретные примеры.

1) Число атомов в молекулах  должно быть положительным целым  числом.

Рассмотрим уравнение12x+ y= 16. Для математика это уравнение описывает прямую линию на плоскости. Оно имеет бесконечно много решений, в том числе и целочисленных. А для химика выражение12x+ y описывает молекулярную массу углеводорода CxHy (12 – атомная масса углерода, 1 – водорода). Молекулярную массу16 имеет единственный углеводород– метанCH4, поэтому только одно решение данного уравнения обладает химическим смыслом: x= 1, y= 4.

2) Одно из ключевых  понятий химии– валентность, то есть число химических

связей, которыми данный атом соединен с другими. Валентность почти всегда является положительным целым числом Например, углерод в органических соединениях почти всегда четырехвалентен. Это накладывает некоторые ограничения на химические формулы. Например, число атомов водорода во всех углеводородах четно. Кроме того, оно всегда имеет верхнюю границу.

Найдем максимально возможное число атомов водорода в углеводороде, содержащем n атомов углерода. Любой химик, будь то школьник, студент или научный сотрудник, сразу скажет, что это число равно2n+ 2. Оно соответствует предельным углеводородам– алканам. Решим эту задачу с помощью математических рассуждений.

Общее число валентностей углерода в молекуле CnHx равно4n, так как каждый атом углерода четырехвалентен. Что входит это число? Атомы углерода связаны друг с другом и с атомами водорода. Минимально возможное число связей C–С равно (n–1) – оно необходимо, чтобы углеродный скелет не имел разрывов. В каждой такой связи участвует два атома углерода, поэтому число валентностей, расходуемых на связи C–С, равно2(n–1). Остальные4n– 2(n–1) = 2n+ 2 валентностей расходуются на связи C–H. Водород одновалентен, поэтому число его атомов равно числу связей C–H: x= 2n+ 2. Доказательство закончено.

3) Многие физические величины, используемые для описания химических  ве-ществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения: масса, объ-ем, концентрация, скорость реакции и др.

Химикам часто приходится решать задачи на расчет состава равновесной смеси.  В них возникают полиномиальные уравнения относительно доли превращения исходных веществ в продукты. Согласно основной теореме алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней, среди которых могут быть и комплексные. Однако во всех уравнениях, возникающих в химии, только один корень имеет химический смысл.

Рассмотрим такой пример. Смесь азота и водорода в соотношении1 : 3 нагрели до установления равновесия. Рассчитаем, какая доля исходных веществ превратилась в аммиак, если константа равновесия при конечной температуре смеси и давлении 100 атм равна5⋅10^–6.

 Запишем уравнение  реакции:

N2+ 3H2= 2NH3.

Составим таблицу, в которой указаны количества веществ до реакции, вступивших в реакцию и после реакции. Долю прореагировавшего азота обозначим x.

Количества в-ва,моль	N2	H2	NH3	Всего
Исходный состав	1	3	0
Вступило в реакцию	x	3x	2x
Конечный(равновесный) состав	1-x	3-3x	2x	4-2x

 

 

Неизвестное x можно определить из уравнения, выражающего константу равновесия через давления находящихся в смеси газов:

 

При P= 100 атм данное уравнение4-й степени относительно x имеет четыре действи-тельных корня:

x1= –0.187, x2= 0.120, x3= 1.880, x4= 2.187,

из которых только один(x2) удовлетворяет условию положительности концентраций.

Такой результат совершенно типичен для расчетов химических равновесий: каким бы сложным ни было уравнение относительно степени превращения реагентов в продукты и сколько бы корней(в том числе и положительных) оно ни имело, всегда только один корень будет обладать химическим смыслом, то есть приводить к положительным равновесным концентрациям всех веществ.

В данном примере выход реакции, то есть доля прореагировавших веществ, со-ставил12%.

4) В химии нет иррациональных  чисел. Иррациональное число содержит  бес-конечное число знаков в десятичной записи. Химия– наука экспериментальная, она оперирует с результатами измерений, которые выражаются или целыми числами, или дробными, но полученными с конечной точностью, как правило, не более 4 значащих цифр.

 Например, показатель  преломления вещества может быть  равен 1.414, но не бывает равным . Поэтому числа π и e, часто возникающие в химических расчетах, обычно округляют до 3.14 и 2.72, соответственно.

5) В химии нет понятия«бесконечность». Число атомов в наблюдаемой части Вселенной очень велико, но конечно, поэтому в природе нет бесконечно больших величин. Каковы же самые большие числа, используемые химиками? Число атомов во Вселенной оценивается как, на Земле–атомов, в человеческом организме их примерно . В статистической термодинамике возникает число способов переста-новки одинаковых молекул в порции жидкого вещества, которое равно N!, где N~ . Для оценки этого числа используем формулу Стирлинга:

 

 

Для сравнения, математик Харди утверждал[3], что самое большое число, которое когда-либо служило какой-либо цели в математике, равно

Аналогично, в химии нет и бесконечно малых величин. Каждая физическая величина– время, энергия, масса, расстояние– имеет конечное наименьшее значение, которому присущ химический смысл.

Например, время в химии ограничено снизу значением с, которое характеризует самую быструю реакцию среди всех возможных:

H + H = H2.

Нижняя граница для расстояний– это  м, то есть характерный размер атомов.

Меньшие значения с точки зрения химии уже не имеют смысла. Раз нет бесконечно малых величин, то, строго говоря, теряет смысл понятие «производной в точке», которое равно отношению бесконечно малых приращений функции и аргумента.

Тем не менее, в химии производная играет очень большую роль: производные по температуре, давлению и объему составляют основу математического аппарата химической термодинамики, а производные по времени– химической кинетики. Это связано с тем, что при той точности измерений, которая принята в химии, отличие производной от отношения конечных приращений экспериментально не наблюдаемо, то есть равно нулю практически:

 

 

 

 

 

 

Графическое определение теплового эффекта

 

 

∆HT2=∆HT1+∫∆CpdT

 

Поскольку интеграл стоящий в правой части можно заменить графиком т.к. любой определенный интеграл имеет геомерический смысл, он всегда численно равен площади посроенной определенным образом ∆Cp=f(T)

 

На оси абсцисс откладывают переменную, она всегда стоит под знаком дифференциала, на оси ординат откладывают подинтегральную функцию.4

 

  

Проводят опыт при разных температурах опытным путем с помощью калориметра, определяют теплоемкость каждого из участков реакции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Мы рассмотрели всего несколько примеров, показывающих, как математика используется в химии. Они дают определенное, хотя, конечно, неполное представление

о задачах, решаемых химиками с помощью математики, и ограничениях, которые химия накладывает на применяемую в ней математику.

Взаимодействие химиков и математиков не ограничивается решением только

химических задач. Иногда и в химии возникают абстрактные задачи, которые приводят даже к появлению новых областей математики. Так, математики до сих пор работают над доказательством второго закона термодинамики– основных законов химии, справедливость которого для самих химиков очевидно вытекает из всех известных до сих пор экспериментальных данных о химических веществах и химических реакциях.

История науки говорит о том, что на границах различных областей знания могут

происходить очень интересные события. И хотя химики и математики мыслят совсем  по-разному, те случаи, когда им удается взаимодействовать, приводят к появлению красивых и нетривиальных результатов и способствуют обогащению обеих наук.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Воронков М.Г., Рулев А.Ю. О химии с улыбкой, или основы пегниохимии. – СПб:

Наука, 1999.

2. Химия и жизнь– XXI век, 1997, №2, с. 5.

3. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000.

4. Харгиттаи И., Харгиттаи М. Симметрия глазами химика. – М.:Мир, 1989.

5. Левицкий М.М. О химии  серьезно и с улыбкой. – М.: Академкнига, 2005.

6. Колебания и бегущие  волны в химических системах. – М.: Мир, 1988.

7. Химические приложения  топологии и теории графов. –  М.: Мир, 1987.