Ряды и двойные интегралы

 

 

 

Содержание

 

Ряды и двойные интегралы . . . . . . . 3

Дифференциальные уравнения . . . . . . 5

Линейная алгебра и  аналитическая геометрия . . . . 8

 

 

Контрольная работа №1

«РЯДЫ И ДВОЙНЫЕ  ИНТЕГРАЛЫ»

Вариант №3

 

Задача 1

Исследовать на сходимость числовой ряд

 

Решение.

Для исследования ряда на абсолютную сходимость воспользуемся  признаком Даламбера.

,

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

 

Ответ: сходится абсолютно.

 

Задача 2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

 

Решение.

Решим задачу с помощью  признака Даламбера.

 

Ответ: Область сходимости ряда представляет собой пустое множество. Ряд расходится при любых значениях х.

 

Задача 3

Разложить в окрестности  точки  в степенной ряд функцию

 

Решение.

.

 

Ответ: .

 

Задача 4

Вычислить интеграл , где D- прямоугольник

 

Решение.

.

 

Ответ: 20.

 

 

Задача 5

Вычислить интеграл , где D – область, ограниченная линиями

 

Решение.

 

Ответ: .

 

 

Контрольная работа №2

«Дифференциальные уравнения»

Вариант 3.

Задача 1.

Решить задачу Коши для уравнения  , .

 

Решение.

- уравнение с разделяющимися переменными.

Определим константу

 

Ответ:

 

 

Задача 2.

Найти общее решение дифференциального  уравнения 

 

Решение.

- линейное уравнение.

Для решения используем метод вариации произвольной постоянной.

1. Общее решение однородного  уравнения

2. Пусть  . Подставим его в заданное уравнение функции и ее производную .

3. Подставим полученную  функцию в выражение 

.

 

Ответ: .

 

 

Задача 3.

Решить задачу Коши для  уравнения  , .

 

Решение.

Уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами.

_.

Используя начальные условия, найдем константы:

Ответ: 

 

 

Задача 4.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

 

Решение.

У нас линейное уравнение 2-го порядка  с постоянными коэффициентами и  правой частью специального вида.

1. Общее решение однородного  уравнения

2. Частное решение неоднородного  уравнения 

3. Общее решение неоднородного  уравнения 

 

Ответ: .

 

 

Контрольная работа

«Линейная алгебра  и аналитическая геометрия»

Вариант 3.

Задание 1

 

Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений  , решить затем эту систему методом обратной матрицы.

 

Решение.

 

Вычисляем определитель матрицы системы:

Транспонируем матрицу  :

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы :

Присоединенная матрица к А имеет вид:

Используя формулу  , находим

Найдем решение системы (вектор Х):

 

 

Ответ: ,

 

 

 

Задание 2

 

Используя формулы Крамера, решить систему уравнений  , указав в ответе отдельно величину определителя этой системы.

 

Решение.

 

Определитель матрицы  системы

Определители:

Из формулы Крамера

.

 

Ответ: .

 

 

Задание 3.

 

Решить методом Гаусса систему уравнений:

 

Решение.

 

Ответ: x=-3, y=-1, z=2, w=5.

 

 

 

Задание 4

 

Найти уравнение касательной  к параболе   в точке .

 

Решение.

 

Уравнение касательной  .

.

 

Ответ: .

Задание 5

 

Найти точку пересечения  прямой с плоскостью .

 

Решение.

 

Параметрическое уравнение 

.

Подставим полученные выражения  в уравнения плоскости

Координаты точки 

 

Ответ: .