Шпаргалка по "Математическому анализу"

3. Уравнения прямых. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k  :  y - y₁ = k(x - x₁

Это уравнение определяет пучок  прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

     

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

     

- Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями  с угловым коэффициентом, то необходимое  и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых  коэффициентов:   k₁ = k₂.     

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое  и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих  координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е. 

     

- Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями  с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие  их перпендикулярности заключается  в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

Это условие может быть записано также в виде : k₁k₂ = -1.     

б) Если уравнения прямых заданы в  общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается  в выполнении равенства  A₁A₂ + B₁B₂ = 0.      

Координаты точки пересечения  двух прямых находят, решая систему  уравнений. Прямые пересекаются в том и только в том случае, когда

4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА, их графики

 

 

Общий вид линии второго  порядка: 

.                                                (1)

К кривым второго порядка  относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола. 

 

1.  Окружность 

Окружность – это множество  точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). 

                                                        (2)

где  - радиус окружности,   и   - координаты центра окружности.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид 

                                                                 (3)

2.    Эллипс

Эллипсом называется множество  точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение  эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках   и  :                                

                                           (4)

где   и   - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты   эллипса связаны соотношением 

 

 

Если центр эллипса  находится в точке  , то уравнение эллипса имеет вид:  

                                                               (5) 

 

3.    Гипербола

Гиперболой называется множество  точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с  центром в начале координат и  с фокусами в точках   и   имеет вид:  

                                                                          (6)

где   - действительная полуось,       

 - мнимая полуось. 

Коэффициенты   и   гиперболы связаны соотношением   .       

Прямые  - асимптоты гиперболы.

 

 

Если центр гиперболы  находится в точке  , то уравнение имеет вид: 

                                                            (7)

4.    Парабола

Параболой называется множество  точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:                                             

            ,                                                                                    (8)

где   - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты  .

 

 

Если вершина параболы находится в точке  , то уравнение имеет вид:                      

                        

 

 

 

 

5.Обратно пропорциональная зависимость. Дробно-линейные функции.

Зависимость между переменными  величинами   и  , выражающаяся формулой  , где постоянная величина   есть положительное или отрицательное число, называется обратно пропорциональной зависимостью

Если обе части равенства   умножить на  , то получим новый вид формулы, обратно пропорциональной зависимости  . Эта формула говорит о следующем свойстве величин   и  , находящихся в обратно пропорциональной зависимости: если любое значение   умножить на соответствующее значение  , то получим постоянное число  . Число   здесь называется коэффициентом пропорциональности.

Модель 2.14. Построение дробно-линейной функции

Функция вида   (a, b, c, d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной.

График 2.4.1.2. Вырожденные случаи дробно-линейной функции

 

 

Если c = 0 и d ≠ 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости   графиком которой является прямая линия.

Если c ≠ 0, но ad = bc, то выполняется пропорция   откуда следует, что   на всей числовой оси за исключением   Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, с выколотой точкой x₀.

 

 

6. Числовая последовательность и ее предел. Геометрическая интерпретация.

Если каждому числу  n натурального ряда чисел 1,2,3… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число  , то множество занумерованных вещественных чисел , , , …., ,… называется числовой последовательностью.

- Последовательность   называется ограниченной сверху(снизу),если существует такое положительное число M(m), что каждый элемент  последовательности удовлетворяет неравенству . Число M(m) называется верхней(нижней) гранью последовательности .

- Последовательность   называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

- Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству  .

Св-ва такие же как у б.м.п но 4ый пункт – частное двух б.б.п есть б.б.п.!!

- Последовательность   называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству   ..

Св-ва:

1) Алгеб. Сумма любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.

2) Произведение любого конечного  числа б.м.п. есть б.м.п.

3)Произведение б.м.п. на число, есть б.м.п.

4)Частное двух б.м.п может и не быть б.м.п.

 

- Последовательность  называется сходящейся, если существует такое число , что для любого положительного числа существует такой номер N из множества натуральных чисел, что для всех справедливо неравенство: При этом число называется преде лом последовательности и обозначается =

-Последовательность имеющая предел называется сходящейся последовательностью:

если  - б.м.п.

-Последовательность не имеющая предел называется рассходящейся последовательностью: если  - б.б.п.

Геометрическая интерпретация  
Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<e равносильно следующему A- e < x_n < A + e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в e - окрестность точки A (рис.13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

25.Производная сложной  функции

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Условно можно обозначать как f(g(x)), где g(x)- аргумент функции f(g(x)).

Формула нахождения производной  сложной функции. 

 

26. Производная обратной  функции

Пусть :

1)функция   удовлетворяет условию теоремы о существовании обратной функции.

2) В точке  она имеет конечную и отличную от нуля производную )

Тогда для обратной функции  в соответствующей точке также существует производная, равная .

Формула нахождения производной обратной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27-29.Таблица производных

 

 

 

 

 

 

 

 

31. Производная степенно-показательной  функции. Логарифмическое дифференцирование.

Степенно-показательной  функцией (или показательно-степенной, или функцией в степени функция) называется функция вида 

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

 

 

32.Производные  высших порядков

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции     (или второй производной) и обозначают символом  . Таким образом

 

 

 

 

33.Дифференциал функции  y=f(x), его геометрический смысл.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•dх.    

Отсюда  следует, что  

Геометрический смысл  дифференциала функции

Проведем к графику функции  у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную  МТ и рассмотрим ординату этой касательной  для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Дифференциал функции  у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику  функции в этой точке, когда х  получит приращение ∆х.

 

 

 

 

 

 

 

34-36. Теорма Ферма,Ролля,Лангажа и ее геометрическая интерпретация.

  Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки     и   , а производная     равна угловому коэффициенту касательной к графику функции     в некоторой средней точке промежутка   . Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

 

  
Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки  c, в которой касательная к графику функции     параллельна секущей  AB. Таких точек может быть несколько.

 

44.Функции  нескольких переменных. Ф-ция двух переменных. Примеры. Предел ф-ции двух переменных, непрерывность ф-ции.(начало на листочке желтом)

2)Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим  способом. Например: z=3x+5y²

3)Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие 
 
 
 
также верно и условие  . 
 
Записывают: 

4) Непрерывность функции нескольких переменных. 
Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называетсянепрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если  
 
 (1) 
 
причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.