Шпаргалка по "Математике"

 

19. Определение  предела функции ( в точке и на бесконечности).

Если каждому  натуральному числу n N поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят что задана числовая посл-ть a1,a2,..,a. Число A наз-ся пределом числ.посл-ти an если для любого положит.числа E>0 найдется такой N=N(E),что для всех членов посл-ти с номерами n>N выполняется |a_n-A|<E. Пр.в точке: A наз-ся пределом f(x) при x->∞ если для любого полож.числа E>0 найдется такое S=S(E)>0 что если |x|>S то |f(x)-A|<E. Т.е. A=lim x->∞ f(x) ó "E>0 $S=S(E)>0 |x|>S=>|f(x)-A|<E. Пр. в точке: пусть y=f(x) задана в окрестностях точки x₀ кроме самой этой точки. A=lim x->∞ f(x) ó"E>0 $δ= δ(E) |x-x₀|< δ=>|f(x)-A|<E.  замечание: если x->x0 принимает значения меньше х0 или только только больше x0 то говорят об односторонних пределах ф-ии.

 

20. Бесконечно  малые величины, их свойства. Эквивалентные  бесконечно малые.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или  последовательность, которая стремится  к нулю. Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел an=1/n. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если . Функция называется б.м. на бесконечности, если или . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если то f(x) − a = α(x), . Св-ва: 1)алгебр.сумма конечн.числа б.м. есть б.м.величина; 2)пр-е б.м.величины на огр.ф-ию есть б.м.величина; 3)частное от деления б.м. на ф-ию, lim которой отличен от 0, есть велич.б.м. Если , то б.м.в-ны α и β эквивалентные.

 

21. Бесконечно  большие величины, св-ва. Связь между б.б. и б.м.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или  последовательность, которая стремится  к бесконечности определённого  знака. Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x->+∞; Последовательность an называется бесконечно большой, если ; Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ;Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если или . Св-ва: 1)пр-ие б.б.вел.на функцию, lim кот.отличен от 0, есть вел.б.б; 2)сумма б.б.величин и огранич.ф-ии есть вел.б.б.; 3)частное от деления б.б. на ф-ию,имеющую lim,есть вел.б.б. Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость 0/0.

 

22. Основные  теоремы о пределах.

1) если предел сущ-т, то он единственный; 2) если ф-я y=f(x) в некоторой окрестности точки x₀ монотонно возрастает или убывает то она в этой точке имеет предел, если к тому же эта ф-ия ограничена сверху и снизу то этот предел конечный; 3) если в окр-ти  т.x0 выполнено f(x) ≤h(x)≤g(x) и lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x) = A и пределы этих ф-ий совпадают => lim x->x0 h(x)=A; 4) пусть limx->x0 f(x)=A<∞, lim x->x0 g(x)=B<∞, тогда lim x->x0 (f(x) ±g(x))=A±B и lim x->x0 [f(x)*g(x)]=A*B=>lim x->x0 (λ*f(x)= λlimf(x), λ=const.

 

23. Замечательные пределы

Первый замечательный  предел: Второй замечательный предел:

 

24. Непрерывность  функции. Свойства функций, непрерывных  в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим трём условиям: определена в точке x0 (т.е. существует f(x0));  имеет конечный предел ф-ии при x->x0; этот предел = значению ф-ии в точке x0,т.е. lim x->x0 f(x)=f(x0). Определение непрерывности ф-ии lim x->x0 f(x) = f(x0) может быть записано и так: lim x->x0 f(x)=f(limx), т.е. для непрерывной ф-ии возможна перестановка символов предела и ф-ии. Св-ва ф-ий, непрерывных в точке: 1.)Если ф-ии f(x)и φ(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, произведение и частное (при условии φ(x0) ≠0) явл. ф-ями, непрерывными в точке x0. 2) Если ф-ия y=f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)> 0, то сущ-ет такая окрестность точки x0, в кот. f(x)> 0. Если ф-ия y=f(u) непрерывна в точке u0, а ф-ия u= φ(x)непрерывна в точке u0= φ(x), то сложная ф-ия y=f[φ(x)] непрерывна в точке x0. 

25. Свойства функций,  непрерывных на отрезке (т.Вейерштрасса, Больцано-Коши)

1. Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отр. [a; b], то она ограничена на этом отр.
2. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b], то она достигает на этом отр. наим. знач. m и наиб. знач. M (теорема Вейерштрасса).
3. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b] и знач-я ее на концах отр.f(a)и f(b) имеют противоп. знаки, то внутри отр. найдется точка μ принадлеж.(a,b), такая, что f(μ )=0 (теорема Больцано-Коши).

 

26. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический  смысл. 

Производной y=f(x) наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента к стремлению последнего к нулю. Нахождение производной наз-ся дифференцированием. Геометрический смысл производной: производная f ‘ (x0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е. k=f’(x0), Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке ч0 примет вид y-f(x0)= f’(x0)(x-x0).Механический смысл производной: производна пути по времени s’(t0) есть скорость точки в момент t₀/v(t₀). Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Экономический смысл. V(t),  t0 принадлежит (a,b). Тогда за время ∆ t предприниматель произведет продукции V(t0 + ∆ t) - V(t0).Средней производительностью труда называется отношение

 

 

27. Основные правила дифференцирования. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

C’=0; x’=1; (u±v)’=u’±v’; (u*v)’=u’v+uv’; (u/v)’=u’v-uv’/v²; y=f(u) u=f(x) y=f[φ(x)] y’=f’[φ(x)]* φ’(x). Пр-ая неявной ф: F(x,y)=0 для нахождения y’ нужно продиф.уравнение, рассматривая y как ф-ию от x, а затем из получ.выражения получить y’. Произ.высш.пор.: когда мы берем пр-ую от ф-ии, то f’(x) также явл.ф-ией от x₁ => если f’(x) дифференцируемая, то от нее также можно получить произ-ую. f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’

 

28. Основные теоремы диффернционального исчесления функции одной переменной.

Т.Ферма: если диф-я на нек.промежутке x, y=f(x) достигает наиб.или наим.значения во внутр.точке х₀ этого промежутка, то пр-ая ф-ии в этой точке=0. Т.Ролля: пусть y=f(x): 1)непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.внутри отрезка; 3)f(a)=f(b) тогда сущ-т точка Е в кот.произ-я=0. Т.Лагранжа: непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.на отрезке тогда сущ-т хотя бы одна точка Е такая что прои-ая  в этой точке = f’(E)=f(b)-f(a)/b-a, f(b)-f(a)=f’(E)(b-a); Т.Коши: если f(x) и g(x) непрерывны на отр. [a;b] дифференц.на (a;b) и g(x)≠0 на (a;b) тогда f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(E)/g’(E).

 

29.Исследование функции: монотонность и точки экстремума.

монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: Если производная положительна, то функция возрастает; Если производная отрицательна, то функция убывает. Достаточное условие вострастания ф-ии: если пр-ая диф.функции положит.внутри нек.промежутка x,то внутри этого промежутка ф-ия возрастает. Экстремумы: 1) x0 наз-ся т.max ф-ии y=f(x) если в нек.окрестности т.x0 вып-ся f(x)<f(x0) для любой т.х из этой окрестн. 2) х1 нах-ся т.min если в нек.окр-ти т.х0 вып-ся f(x)>f(x0) значение f(x0)-max, f(x1)-min.

 

 

 

30.Исследование ф-ии: выпуклость и точки перегиба.

При  исследовании функции  и построении ее графика на одном  из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Точка называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство , то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х. Алгоритм нахождения точек перегиба функции: Находим все абсциссы x0 возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие x0 вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

 

31. Асимптоты графика ф-ии.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий , Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если . Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

 

32. Приложение производной  в экономике.

Интерпретация т.Ферма: один из базовых законов т.про-ва звучит как оптимальный для пр-ля ур.выпуска товара опр-ся равенством MD(доход) и MS(издержки). Ф-ия прибыли = С(х), тогда С(х)=D(x)-S(x), при C’(x)=0 прибыль макс. => MD(x0)=MS(x0). Уровень наиб.экономичного пр-ва: ср.издержки (AS)=пред.изд.(MS). AS=S(x)/x, min дост-ся в критич.т.функции y=AS(x), т.е. при AS’(x)=S’x-S/x²=0 =>S’*x-S=0 или S’=S/x,т.е. MS(x)=AS(x). Закон убывающей доходности: c увелич.пр-ва доп.продукция,пол-ая на кажд.нов.ед.ресурса с нек.момента убывает, т.е. ∆y/∆x (∆x-приращение ресурса, ∆y-приращение выпуска прод-ии) уменьшается при увеличении х. => ф-ия y=f(x),выраж-щая зависимость выпуска прод-и от вложенного ресурса, явл-ся ф-ией, выпуклой вверх. Ф-ия полезности: U=U(x) (x-кол-во товара,U-полезность) закон: с ростом кол-ва товара доп.полезность от каждой новой его единицы с некотор.момента убывает. Переформулировка: ф-ия полезности явл. выпуклой вверх.

 

33. Эластичность функции.

Эластичностью ф-ии E_x наз-ся предел отношения относит.приращения ф-ии y к относит.приращению переменной х при ∆х->0: E_x(y)=lim ∆x->0 (∆y/y:∆x/x)=x/y lim ∆x->0 ∆y/∆x=x/y*y’. Показывает насколько % измен-ся ф-я y=f(x) при изменении независимой переменной на 1%. Геомет.смысл: E_x(y)=x/y*y’=x/y tgα, где tgα – tg угла наклона касательной. Т.е. эластичность ф-ии (по абс.величине) = отношению расстояний по касательной от данной точки графика ф-ии до точек ее пересечения с Ох и Оу. Свойства эл-ти: 1)эл-ть = пр-ию независимой переменной х на темп изменения функции Ty=(lny)’=y’/y,т.е.E_x(y)=xTy; 2)эл-ть произв-я 2хфункций = сумме эластичности этих ф-ий: Ex(uv)=Ex(u)+Ex(v); 3)эл-ти взаимно обратных ф-ий – взаимно обратные величины Ex(y)=1/Ey(x).

 

 

36. Производная  по направлению. Градиент.

Производной z’_l по направлению l ф-ции 2х переменных z=f(x;y) наз-ся предел отношения приращения ф-ии в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю, т.е. z’_l=lim ∆l->0 ∆_lz/∆l. Пр-ая z’_l хар-ет скорость изменения функции в направлении l. Градиентом ˅z функции z=f(x,y) наз-ся вектор с координатами (z’_x,z’_y).

 

37. Экстремум функции  2х переменных.

Точка M(x0,y0) наз-ся т.max (min) ф-ии z=f(x,y) если сущ-т окрестность т.M такая что для всех точек (x,y) из этой окр-ти вып-ся неравенство f(x0,y0)≥f(x,y). Теорема: пусть точка (x0,y0) есть точка экстремума дифф-ой ф-ии z=f(x,y), тогда частные производные f’_x(x0,y0) и f’_y(x0,y0) в этой точке равны 0. Необходимое условие экстремума: в точке min, max диф-ой ф-ии градиент = 0. Достаточное условие экстремума ф-ии 2х переменных: пусть ф-ия z=f(x,y) a)определена в некот.окрестности критич.точки (x0,y0), в кот-ой f’_x(x0,y0)=0 и f’_y(x0,y0)=0; b)имеет в этой точке непрерывные частные произ-ые 2го порядка f’’xx(x0,y0)=A, f’’xy(x0,y0)=f’’yx(x0,y0)=B; f’’yy(x0,y0)=C. Тогда, если ∆=AC-B²>0, то в точке (x0,y0) ф-ия z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А<0-max, A>0-min. если ∆=AC-B²<0 ф-ия не имеет экстр. если ∆=AC-B²=0 то вопрос о наличии экстр.остается открытым. Т.е. чтобы найти экстр.ф-ии 2х переменных надо: найти частн.пр-ые ф-ии z’_x z’_y , решить сист.уравнений z’_x=0 z’_y=0 и найти критич.точки ф-ии, найти частн.пр-ые 2го порядка,вычисл.их значения в кажд.критич.точке и сделать вывод о наличии экстр., найти экстр. ф-ии.

 

 

39. Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на промежутке x, если в каждой точке х этого промежутка F’(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для ф-ии f(x) на промежутке x наз-ся неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается ∫f(x)dx, где ∫-знак интеграла, f(x)-подынтегральная ф-ия, f(x)dx-подынтегральное выражение. ∫f(x)dx=F(x)+C.Операция нахождения интеграла от нек.ф-ии наз-ся интегрированием этой ф-ии.

 

40. Свойства неопределенного  интеграла.

1) Производная от неопр. ∫ равна подынтегральной ф-ии, т.е. (∫f(x)dx)’=f(x); 2)Дифференциал неопр. ∫ = подынтегр.выражению d(∫f(x)dx)=f(x)dx; 3)неопр. ∫ от дифференциала нек.ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫dF(x)=F(x)+C; 4)Постоянный множитель можно выносить за знак ∫, ∫αf(x)dx=α∫f(x)dx; 5) Интеграл от алг.суммы 2х ф-ий равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

 

41. Методы нахождения  неопределенного интеграла.

1) Метод замены переменной (подстановки) ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ’(t)dt, x=φ(t)-ф-ия диффер.на данном промежутке. 2) интегрирование по частям ∫udv=uv-∫vdu фиксируется разбиение подынтегр.выражения искомого интеграла на 2 сомножителя (u и dv) первый дифф-ся, второй интегрируется.

 

42. Понятие интегральной  суммы и определенного интеграла. 

Инт.сумма: пусть на [a,b] задана ф-ия y=f(x). Разобьем отр.[a,b] на n элементарных отрезков точками x0,x1,.,xn a=x0<x1<x2<..<xn=b. На кажд.отрезке [x_i-1,x_i]разбиения выберем нек.точку Е1 и положим ∆x_i=x_i-x_i-1, где i=1,2,..,n. Сумму вида наз-м интегральной суммой для ф-ии y=f(x) на [a,b]. Опр. ∫: пусть предел интег.суммы при стремлении max∆xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1,x2,.. и точек E1,E2,.. Тогда этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии y=f(x) на [a,b].

 

43. Свойства определенного  интеграла. 

1) постоянный множитель можно вынос. за знак интегр.=, где -число. 2)интегр.от суммы 2х ф-ий = такой же сумме инт-ов от этих ф-ий =; 3) если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке = сумме интегралов для каждой из возникших частей, при любых a,b,c ; 4)если на отрезке [a,b] f(x)≤g(x), то , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. 5)теорема о среднем: если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] a<b то найдется такое значение E[a,b] что

 

44. Методы вычисления  определенного интеграла.

Т.Ньютона-Лейбница: пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – любая первообразная для этой ф-ии на данном отрезке, тогда . Метод замены переменной: пусть y=φ(t) имеет непрер.пр-ю на [ а=φ(, b=φ(). Пусть f(x) непрер. в кажд.точке вида x=φ(t), где t[ => . Интегрирование по частям: (uv)=u(b)v(b)-u(a)b(a)

 

46. Несобственный  интеграл с бесконечными пределами. 

Несобственным интегралом наз-ся . Если предел правой части этого рав-ва сущ-т и конечен, то интеграл сходящийся, а если нет то расходящийся.